平面上に2点 A(2, 0), B(1, 1) がある。点 P(x, y) が円 $x^2 + y^2 = 1$ の周上を動くとき、内積 $\vec{PA} \cdot \vec{PB}$ の最大値を求め、そのときの点 P の座標を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に2点 A(2, 0), B(1, 1) がある。点 P(x, y) が円 $x^2 + y^2 = 1$ の周上を動くとき、内積 $\vec{PA} \cdot \vec{PB}$ の最大値を求め、そのときの点 P の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{PA}$ と $\vec{PB}$ を成分で表します。

$\vec{PA} = (2-x, -y)$

$\vec{PB} = (1-x, 1-y)$

次に、内積 $\vec{PA} \cdot \vec{PB}$ を計算します。

$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = (2-x)(1-x) + (-y)(1-y) = 2 - 2x - x + x^2 - y + y^2 = x^2 + y^2 - 3x - y + 2$

ここで、$x^2 + y^2 = 1$ を用いると、

$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 1 - 3x - y + 2 = 3 - 3x - y$

次に、$3 - 3x - y$ の最大値を求めます。

点 P(x, y) は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるので、$x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$ とおけます。

すると、$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 3 - 3\cos\theta - \sin\theta$ となります。

ここで、$f(\theta) = 3 - 3\cos\theta - \sin\theta$ とおくと、$f(\theta)$ の最大値を求める問題に帰着します。

$f'(\theta) = 3\sin\theta - \cos\theta$

$f'(\theta) = 0$ となるのは、$3\sin\theta = \cos\theta$ のとき、つまり $\tan\theta = \frac{1}{3}$ のときです。

ここで、$3\cos\theta + \sin\theta$ を三角関数の合成で変形すると、

$3\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{3^2 + 1^2}\cos(\theta - \alpha) = \sqrt{10}\cos(\theta - \alpha)$

ただし、$\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$。

したがって、$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 3 - \sqrt{10}\cos(\theta - \alpha)$

よって、$\cos(\theta - \alpha) = -1$ のとき、$\vec{PA} \cdot \vec{PB}$ は最大値 $3 + \sqrt{10}$ をとります。

$\cos(\theta - \alpha) = -1$ となるのは、$\theta - \alpha = \pi$ のときです。

このとき、$\cos\theta = -\cos\alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}$, $\sin\theta = -\sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}}$

したがって、P の座標は $(x, y) = \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ です。

3. 最終的な答え

内積の最大値：$3 + \sqrt{10}$

P の座標：$\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$