図1のグラフに関する以下の問題を解く。ただし、放物線の式は $y = \frac{1}{4}x^2$ とする。 (1) 点A, Bの座標をそれぞれ求めよ。 (2) 直線ABの式を求めよ。 (3) $\triangle AOB$の面積を求めよ。 (4) 原点を通って$\triangle AOB$の面積を二等分する直線の式を求めよ。 (5) 点Aを通って$\triangle AOB$の面積を二等分する直線の式を求めよ。 (6) $\triangle AOB = \triangle AOP$となるx軸上の点Pの座標を求めよ。 (7) $\triangle AOB = \triangle AOP$となるy軸上の点Pの座標を求めよ。 (8) $\triangle AOB = \triangle APB$となる放物線上の点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

図1のグラフに関する以下の問題を解く。ただし、放物線の式は $y = \frac{1}{4}x^2$ とする。

(1) 点A, Bの座標をそれぞれ求めよ。

(2) 直線ABの式を求めよ。

(3) $\triangle AOB$の面積を求めよ。

(4) 原点を通って$\triangle AOB$の面積を二等分する直線の式を求めよ。

(5) 点Aを通って$\triangle AOB$の面積を二等分する直線の式を求めよ。

(6) $\triangle AOB = \triangle AOP$となるx軸上の点Pの座標を求めよ。

(7) $\triangle AOB = \triangle AOP$となるy軸上の点Pの座標を求めよ。

(8) $\triangle AOB = \triangle APB$となる放物線上の点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

点Aのx座標は-4である。放物線の式に代入すると、$y = \frac{1}{4}(-4)^2 = \frac{1}{4}(16) = 4$。よって、Aの座標は$(-4, 4)$。

点Bのx座標は6である。放物線の式に代入すると、$y = \frac{1}{4}(6)^2 = \frac{1}{4}(36) = 9$。よって、Bの座標は$(6, 9)$。

(2) 直線ABの式を求める。

A(-4, 4)とB(6, 9)を通る直線の式を$y = ax + b$とする。

$4 = -4a + b$

$9 = 6a + b$

2つの式を引き算すると、$5 = 10a$となり、$a = \frac{1}{2}$。

$4 = -4(\frac{1}{2}) + b$より、$4 = -2 + b$なので、$b = 6$。

よって、直線ABの式は$y = \frac{1}{2}x + 6$。

(3) $\triangle AOB$の面積を求める。

$\triangle AOB$の面積は、線分OBを底辺、Aからx軸までの距離を高さと見なして求める。しかし、今回は原点を通るため、AとBからx軸に垂線を下ろし、台形を作って求める。

台形の面積から三角形を引く方法で計算する。

台形の面積 = $\frac{1}{2} * (4 + 9) * (6 - (-4)) = \frac{1}{2} * 13 * 10 = 65$

左側の三角形の面積 = $\frac{1}{2} * 4 * 4 = 8$

右側の三角形の面積 = $\frac{1}{2} * 9 * 6 = 27$

$\triangle AOB$の面積 = $65 - 8 - 27 = 30$

(4) 原点を通って$\triangle AOB$の面積を二等分する直線の式を求める。

$\triangle AOB$の面積は30なので、二等分すると15。

直線と線分ABとの交点を(x,y)とする。

直線は原点を通るので、$y=kx$

$\triangle OAB$の面積を二等分するので、$\triangle OAC$の面積が15になる。

ABとy=kxの交点をCとする。

ABの式とy=kxの交点なので、

$kx = \frac{1}{2}x + 6$

$(k - \frac{1}{2})x = 6$

$x = \frac{6}{k - \frac{1}{2}} = \frac{12}{2k - 1}$

$y = kx = \frac{12k}{2k - 1}$

Cの座標は$(\frac{12}{2k - 1}, \frac{12k}{2k - 1})$

$\triangle AOC$の面積は15なので、

$\frac{1}{2} * |x_A * y_C - x_C * y_A| = 15$

$| -4 * \frac{12k}{2k-1} - \frac{12}{2k-1} * 4 | = 30$

$| \frac{-48k - 48}{2k-1} | = 30$

$\frac{-48(k+1)}{2k-1} = \pm 30$

$-48k - 48 = 30(2k - 1)$の場合、$-48k - 48 = 60k - 30$より、$108k = -18$。$k = -\frac{1}{6}$

$-48k - 48 = -30(2k - 1)$の場合、$-48k - 48 = -60k + 30$より、$12k = 78$。$k = \frac{13}{2}$

$k= -\frac{1}{6}$ の場合、 Cの座標のx座標がマイナスになるので、求める直線は $y=-\frac{1}{6}x$

$k=\frac{13}{2}$ の場合、 $C(\frac{12}{12}, \frac{78}{12})$

(5) 点Aを通って$\triangle AOB$の面積を二等分する直線の式を求める。

$\triangle AOB$の面積は30なので、Aを通る直線で二等分すると15になる。直線と線分OBとの交点をDとする。

DがOBの中点であればよい。

OBの中点は$(\frac{6+0}{2}, \frac{9+0}{2}) = (3, \frac{9}{2})$

A(-4, 4)とD(3, 9/2)を通る直線の式を求める。

$傾き = \frac{\frac{9}{2} - 4}{3 - (-4)} = \frac{\frac{1}{2}}{7} = \frac{1}{14}$

$y - 4 = \frac{1}{14}(x + 4)$

$y = \frac{1}{14}x + \frac{2}{7} + 4 = \frac{1}{14}x + \frac{30}{7}$

(6) $\triangle AOB = \triangle AOP$となるx軸上の点Pの座標を求めよ。

$\triangle AOB$の面積は30。

Pの座標を(x, 0)とする。

$\triangle AOP = \frac{1}{2} * | x_A * y_P - x_P * y_A | = \frac{1}{2} | -4 * 0 - x * 4 | = \frac{1}{2} | -4x | = 2|x| = 30$

$|x| = 15$

よって、$x = \pm 15$。

点Pの座標は(15, 0)と(-15, 0)。

(7) $\triangle AOB = \triangle AOP$となるy軸上の点Pの座標を求めよ。

Pの座標を(0, y)とする。

$\triangle AOP = \frac{1}{2} | -4y - 0 | = 2|y| = 30$

$|y| = 15$

よって、$y = \pm 15$

点Pの座標は(0, 15)と(0, -15)。

(8) $\triangle AOB = \triangle APB$となる放物線上の点Pの座標を求めよ。

$\triangle AOB = 30$

$\triangle APB = 30$となる点Pの座標を$(t, \frac{1}{4}t^2)$とおく。

$\triangle APB$の面積は、$AB$を底辺と見て、点Pと直線$AB$との距離を高さとすればよい。

平行線の距離は、点と直線の距離の公式で求まる。

点$(t, \frac{1}{4}t^2)$から直線$\frac{1}{2}x - y + 6 = 0$の距離は

$\frac{| \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 + 6 |}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2}} = \frac{| \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 + 6 |}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{2 | \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 + 6 |}{\sqrt{5}}$

ABの距離は $\sqrt{(6 - (-4))^2 + (9 - 4)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

$\frac{1}{2} * 5\sqrt{5} * \frac{2 | \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 + 6 |}{\sqrt{5}} = 30$

$5 | \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 + 6 | = 30$

$| \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 + 6 | = 6$

$\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 + 6 = 6$ のとき、$-\frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{2}t = 0$。 $t(-\frac{1}{4}t + \frac{1}{2}) = 0$。$t=0, t=2$。よって、P(0, 0), P(2, 1)。

$\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 + 6 = -6$ のとき、$-\frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{2}t + 12 = 0$。 $t^2 - 2t - 48 = 0$。 $(t - 8)(t + 6) = 0$。$t = 8, t = -6$。 よって、P(8, 16), P(-6, 9)。

3. 最終的な答え

(1) A(-4, 4), B(6, 9)

(2) $y = \frac{1}{2}x + 6$

(3) 30

(4) $y = -\frac{1}{6}x$

(5) $y = \frac{1}{14}x + \frac{30}{7}$

(6) (15, 0), (-15, 0)

(7) (0, 15), (0, -15)

(8) (0, 0), (2, 1), (8, 16), (-6, 9)