長方形ABCDの辺上を点PがAからB,C,Dへと毎秒1cmの速さで移動する。長方形ABCDは線分PEによって2つの部分に分けられ、頂点Aを含むほうの図形をMとする。点Pが出発してからx秒後の図形Mの面積を$y cm^2$とする。 (1) $x=6$のときのyの値を求める。 (2) $0 \le x \le 4$のとき、$y$を$x$の式で表す。

1. 問題の内容

長方形ABCDの辺上を点PがAからB,C,Dへと毎秒1cmの速さで移動する。長方形ABCDは線分PEによって2つの部分に分けられ、頂点Aを含むほうの図形をMとする。点Pが出発してからx秒後の図形Mの面積を$y cm^2$とする。

(1) $x=6$のときのyの値を求める。

(2) $0 \le x \le 4$のとき、$y$を$x$の式で表す。

2. 解き方の手順

(1) $x=6$のとき、点Pは辺AB上を4cm進み、さらに辺BC上を2cm進んでいる。

長方形ABCDの面積は$4 \times (6+2) = 32 cm^2$である。

三角形PDEの面積は、$\frac{1}{2} \times 2 \times (8-2) = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6 cm^2$である。

したがって、$y = 32 - 6 = 26 cm^2$

(2) $0 \le x \le 4$のとき、点Pは辺AB上にある。

図形Mは台形APEDとなる。

台形APEDの面積は、$y = \frac{1}{2} (AE + AP) \times AB = \frac{1}{2} (6 + (6+x)) \times 4$

$y = \frac{1}{2} (6 + (6+x)) \times x = \frac{1}{2}(6+AE+x) \times AP$

$AP = x$

$y = \frac{1}{2} (6+6) \times 4 = 24$

三角形APBの面積は$\frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$

したがって、$y = 2x$

3. 最終的な答え

(1) $y=26$

(2) $y = 2x$