座標平面上に円 $x^2 + y^2 - 4x = 0$ と直線 $x + 2y - 4 = 0$ がある。 (1) 円の中心Aの座標と半径を求める。 (2) 点Aと直線の距離を求める。 (3) 円と直線の共有点の座標を求める。 (4) 不等式 $x^2 + y^2 - 4x \leq 0$ と $x + 2y - 4 \geq 0$ を満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $x^2 + y^2 - 4x = 0$ と直線 $x + 2y - 4 = 0$ がある。

(1) 円の中心Aの座標と半径を求める。

(2) 点Aと直線の距離を求める。

(3) 円と直線の共有点の座標を求める。

(4) 不等式 $x^2 + y^2 - 4x \leq 0$ と $x + 2y - 4 \geq 0$ を満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成する。

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

$(x-2)^2 - 4 + y^2 = 0$

$(x-2)^2 + y^2 = 4$

したがって、中心は $(2, 0)$、半径は $2$ である。

(2) 点 $(2, 0)$ と直線 $x + 2y - 4 = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より

$d = \frac{|2 + 2(0) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) 円と直線の交点を求める。直線の方程式より $x = 4 - 2y$ を円の方程式に代入する。

$(4 - 2y)^2 + y^2 - 4(4 - 2y) = 0$

$16 - 16y + 4y^2 + y^2 - 16 + 8y = 0$

$5y^2 - 8y = 0$

$y(5y - 8) = 0$

$y = 0, \frac{8}{5}$

$y = 0$ のとき $x = 4 - 2(0) = 4$

$y = \frac{8}{5}$ のとき $x = 4 - 2(\frac{8}{5}) = 4 - \frac{16}{5} = \frac{20 - 16}{5} = \frac{4}{5}$

よって、共有点は $(4, 0)$ と $(\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$

(4) $x^2+y^2-4x \le 0$ は $(x-2)^2 + y^2 \le 4$ を表し、中心 $(2,0)$ 半径 $2$ の円の内部及び円周を表す。

$x+2y-4 \ge 0$ は $x+2y \ge 4$ を表し、$x+2y = 4$ という直線の上側を表す。

$k = x+y$ とおくと、$y = -x+k$

この直線が領域と交わるように、$k$ の最大値、最小値を求める。

$x+y$ が最大となるのは、円と直線の交点のうち、$x$ が小さい点、つまり $(\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$

$x+y = \frac{4}{5} + \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$

$x+y$ が最小になるのは、円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ と直線 $x+2y = 4$ が接する場合を考える。

これは (3) で計算済みであり、接点となるのは $y = 0$ のとき $x=4$, $x=4$のとき $x + y = 4$.

もう一つの交点（接点）$(\frac{4}{5},\frac{8}{5})$ では $x+y = \frac{12}{5}$ となる。

直線 $y=-x+k$ が円 $(x-2)^2+y^2 = 4$ に接する条件は、中心 $(2, 0)$ からの距離が半径 $2$ に等しいこと。

$\frac{|2+0-k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 2$

$|2-k| = 2\sqrt{2}$

$2-k = \pm 2\sqrt{2}$

$k = 2 \mp 2\sqrt{2}$

最大値は $k = 2+2\sqrt{2}$ であり、接点は $x = 2 - \sqrt{2}$, $y = \sqrt{2}$

最小値は $k = 2 - 2\sqrt{2}$ であり、接点は $x = 2 + \sqrt{2}$, $y = -\sqrt{2}$

ただし、$x+2y \geq 4$ を満たす必要がある。

$x=4$, $y=0$ の時 $x+y=4$。$x=\frac{4}{5}$, $y=\frac{8}{5}$ の時 $x+y = \frac{12}{5}$

条件を満たす領域で考えると、最大値は $(\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ のとき、$x+y=\frac{12}{5}$.

最小値は、直線 $x+2y=4$ 上にある時。接点が $x=2+ \sqrt{2}, y=-\sqrt{2}$.

$x+y=2$

3. 最終的な答え

(1) 中心Aの座標は (2, 0) で、半径は 2 である。

(2) 点Aと直線の距離は $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ である。

(3) 円と直線の共有点の座標は (4, 0) と ($\frac{4}{5}$, $\frac{8}{5}$) である。

(4) $x = 2 + \sqrt{2}$, $y = -\sqrt{2}$ のとき、最大値は $\frac{12}{5}$ をとり、$x=\frac{4}{5}$, $y=\frac{8}{5}$のとき、最小値 $\frac{12}{5}$ をとる。

x= 2, y = 0のとき x+y =

4. 領域は円の内部なので、最大になるのは(4/5, 8/5)のときなので12/5。

最小になるのは、直線と円の交点。点(2-sqrt(2), sqrt(2)).

(1) (ア,イ) = (2, 0), ウ = 2

(2) エオ/カ = 2√5 / 5

(3) (キ,ケ) = (4, 0), (ク/コ, サ/シ) = (4/5, 8/5)

(4) ス+√セ = 4/5, √ソ = 8/5 のとき、最大値 タ+チ√ツ = 12/

5. テ/ト = 2, ナ/ニ = 0 のとき、最小値 ヌネ/ノ =

4.

最大値 : $x = 2-\sqrt{2}, y = \sqrt{2}, x+y=2$

最小値 : $x = 2 + \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}, x+y = 2$

最大値: 12/5

最小値: 2-2√2

(ア,イ): (2, 0)

ウ: 2

エ√オ/カ: 2√5 / 5

(キ,ケ): (4, 0)

(ク/コ, サ/シ): (4/5, 8/5)

ス+√セ: 2+√2

√ソ: -√2

夕+チ√ツ: 2-2√2

テ/ト: 2

ナ/ニ: 0

ヌネ/ノ: 2