長方形ABCDにおいて、AB=4a, BC=3aである。点PはAを毎秒$\frac{1}{3}a$の速さで出発し、A→B→Cの順に進んでCで止まる。点QはAを毎秒$\frac{2}{3}a$の速さで出発し、A→D→C→B→Aの順に一周してAで止まる。 (1) 出発してから$x$秒後に点P, Qがともに辺BC上にあるような$x$の値の範囲を求める。 (2) 出発してから$x$秒後に点Pが辺AB上にあり、点Qが辺BC上にあるとき、三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるような$x$の値を求める。 (3) 出発してから$x$秒後に三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるような$x$の値を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=4a, BC=3aである。点PはAを毎秒$\frac{1}{3}a$の速さで出発し、A→B→Cの順に進んでCで止まる。点QはAを毎秒$\frac{2}{3}a$の速さで出発し、A→D→C→B→Aの順に一周してAで止まる。

(1) 出発してから$x$秒後に点P, Qがともに辺BC上にあるような$x$の値の範囲を求める。

(2) 出発してから$x$秒後に点Pが辺AB上にあり、点Qが辺BC上にあるとき、三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるような$x$の値を求める。

(3) 出発してから$x$秒後に三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるような$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺BC上にあるとき、PはABを通ってBC上に到達するので、

$4a + 0 \le \frac{1}{3}ax \le 4a + 3a$

$4a \le \frac{1}{3}ax \le 7a$

$12 \le x \le 21$

点Qが辺BC上にあるとき、QはAD, DCを通ってBC上に到達するので、

$4a + 3a \le \frac{2}{3}ax \le 4a + 3a + 4a$

$7a \le \frac{2}{3}ax \le 11a$

$\frac{21}{2} \le x \le \frac{33}{2}$

$10.5 \le x \le 16.5$

したがって、P, Qがともに辺BC上にあるのは

$12 \le x \le 16.5$

(2) Pが辺AB上にあるとき、

$\frac{1}{3}ax \le 4a$

$x \le 12$

Qが辺BC上にあるとき、

$7a \le \frac{2}{3}ax \le 11a$

$10.5 \le x \le 16.5$

したがって、$10.5 \le x \le 12$

BP = $4a - \frac{1}{3}ax$

BQ = $\frac{2}{3}ax - 7a$

三角形BPQの面積は$\frac{1}{2} \times BP \times BQ = \frac{4}{9}a^2$なので、

$\frac{1}{2}(4a - \frac{1}{3}ax)(\frac{2}{3}ax - 7a) = \frac{4}{9}a^2$

$(4 - \frac{1}{3}x)(\frac{2}{3}x - 7) = \frac{8}{9}$

$(12 - x)(2x - 21) = 8$

$24x - 252 - 2x^2 + 21x = 8$

$2x^2 - 45x + 260 = 0$

$(2x-25)(x-10.4) = 0$

$x = \frac{25}{2}, 10.4$

$x = 12.5, 10.4$

$10.5 \le x \le 12$より、

$x = 10.4 = \frac{52}{5}$

(3) Pが辺BC上にあるとき、

$4a < \frac{1}{3}ax \le 7a$

$12 < x \le 21$

Qが辺AB上にあるとき、

$11a < \frac{2}{3}ax \le 15a$

$\frac{33}{2} < x \le \frac{45}{2}$

$16.5 < x \le 22.5$

したがって、$16.5 < x \le 21$

BP = $\frac{1}{3}ax - 4a$

BQ = $15a - \frac{2}{3}ax$

三角形BPQの面積は$\frac{1}{2} \times BP \times BQ = \frac{4}{9}a^2$なので、

$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}ax - 4a)(15a - \frac{2}{3}ax) = \frac{4}{9}a^2$

$(\frac{1}{3}x - 4)(15 - \frac{2}{3}x) = \frac{8}{9}$

$(x - 12)(45 - 2x) = 8$

$45x - 2x^2 - 540 + 24x = 8$

$2x^2 - 69x + 548 = 0$

$(2x-61)(x-8) = 0$

$x = \frac{61}{2}, x = 8$

$x = 30.5, x=8$

$16.5 < x \le 21$より、解なし。

Pが辺BC上にあるとき、

$4a < \frac{1}{3}ax \le 7a$

$12 < x \le 21$

Qが辺BC上にあるとき、

$7a \le \frac{2}{3}ax \le 11a$

$\frac{21}{2} \le x \le \frac{33}{2}$

$10.5 \le x \le 16.5$

したがって、$12 < x \le 16.5$

BP = $\frac{1}{3}ax - 4a$

BQ = $3a - (\frac{2}{3}ax - 7a) = 10a - \frac{2}{3}ax$

三角形BPQの面積は$\frac{1}{2} \times BP \times BQ = \frac{4}{9}a^2$なので、

$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}ax - 4a)(10a - \frac{2}{3}ax) = \frac{4}{9}a^2$

$(\frac{1}{3}x - 4)(10 - \frac{2}{3}x) = \frac{8}{9}$

$(x - 12)(30 - 2x) = 8$

$30x - 2x^2 - 360 + 24x = 8$

$2x^2 - 54x + 368 = 0$

$x^2 - 27x + 184 = 0$

$x = \frac{27 \pm \sqrt{27^2 - 4\times184}}{2} = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 736}}{2}$

解なし

3. 最終的な答え

(1) $12 \le x \le 16.5$

(2) $x = \frac{52}{5}$

(3) 解なし