空間座標上に2点 A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0) が与えられている。この2点を通る直線 $l$ に、点 C(2, 3, 3) から下ろした垂線の足 H の座標を求める。

1. 問題の内容

空間座標上に2点 A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0) が与えられている。この2点を通る直線 $l$ に、点 C(2, 3, 3) から下ろした垂線の足 H の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方向ベクトルを求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-1, 0, 0) - (-3, -1, 1) = (2, 1, -1)$

(2) 直線 $l$ のパラメータ表示を求める。点 B を通るとして、

$\vec{OH} = \vec{OB} + t\vec{AB} = (-1, 0, 0) + t(2, 1, -1) = (-1+2t, t, -t)$

よって、H の座標は $H(-1+2t, t, -t)$ と表せる。

(3) $\vec{CH}$ と $\vec{AB}$ が垂直であることから、$t$ を求める。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = (-1+2t, t, -t) - (2, 3, 3) = (-3+2t, t-3, -t-3)$

$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$ より

$(-3+2t)(2) + (t-3)(1) + (-t-3)(-1) = 0$

$-6 + 4t + t - 3 + t + 3 = 0$

$6t - 6 = 0$

$t = 1$

(4) H の座標を求める。

$H(-1+2(1), 1, -1) = (1, 1, -1)$

3. 最終的な答え

H(1, 1, -1)