$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうちいずれか一つの値が与えられたとき、残りの二つの値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。直角三角形を用いて解答する。

1. 問題の内容

$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうちいずれか一つの値が与えられたとき、残りの二つの値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。直角三角形を用いて解答する。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$ なので、対辺の長さを1、斜辺の長さを2とする直角三角形を考える。

ピタゴラスの定理より、隣辺の長さは $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ となる。

したがって、$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

(2) $\cos \theta = \frac{5}{13}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}$ なので、隣辺の長さを5、斜辺の長さを13とする直角三角形を考える。

ピタゴラスの定理より、対辺の長さは $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ となる。

したがって、$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{12}{13}$、$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{12}{5}$。

(3) $\tan \theta = 3$

$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$ なので、対辺の長さを3、隣辺の長さを1とする直角三角形を考える。

ピタゴラスの定理より、斜辺の長さは $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ となる。

したがって、$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$、$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。

(4) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$ なので、対辺の長さを1、斜辺の長さを$\sqrt{5}$とする直角三角形を考える。

ピタゴラスの定理より、隣辺の長さは $\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$ となる。

したがって、$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$、$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{1}{2}$。

(5) $\cos \theta = \frac{2}{3}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}$ なので、隣辺の長さを2、斜辺の長さを3とする直角三角形を考える。

ピタゴラスの定理より、対辺の長さは $\sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ となる。

したがって、$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$、$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。

(6) $\tan \theta = \frac{1}{3}$

$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$ なので、対辺の長さを1、隣辺の長さを3とする直角三角形を考える。

ピタゴラスの定理より、斜辺の長さは $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ となる。

したがって、$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$、$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$。

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\sin \theta = \frac{12}{13}$, $\tan \theta = \frac{12}{5}$

(3) $\sin \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(4) $\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\tan \theta = \frac{1}{2}$

(5) $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(6) $\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$