平行六面体OADB-CEGFにおいて、辺OAの中点をM、辺ADを2:3に内分する点をN、辺DGを1:2に内分する点をLとする。また、辺OCを$k:(1-k)$ $(0<k<1)$に内分する点をKとする。 (1) $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{MN}$、$\vec{ML}$、$\vec{MK}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表せ。 (2) 3点M, N, Kの定める平面上に点Lがあるとき、$k$の値を求めよ。 (3) 3点M, N, Kの定める平面が辺GFと交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

平行六面体OADB-CEGFにおいて、辺OAの中点をM、辺ADを2:3に内分する点をN、辺DGを1:2に内分する点をLとする。また、辺OCを$k:(1-k)$ $(0<k<1)$に内分する点をKとする。

(1) $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{MN}$、$\vec{ML}$、$\vec{MK}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表せ。

(2) 3点M, N, Kの定める平面上に点Lがあるとき、$k$の値を求めよ。

(3) 3点M, N, Kの定める平面が辺GFと交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$

$\vec{ON} = \vec{OA} + \vec{AN} = \vec{a} + \frac{2}{5}\vec{AD} = \vec{a} + \frac{2}{5}\vec{OB} = \vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

$\vec{OL} = \vec{OD} + \vec{DL} = \vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{DG} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{OC} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{OK} = k\vec{c}$

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = (\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

$\vec{ML} = \vec{OL} - \vec{OM} = (\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{MK} = \vec{OK} - \vec{OM} = k\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + k\vec{c}$

(2)

3点M, N, Kの定める平面上に点Lがあるとき、実数$s, t$を用いて

$\vec{ML} = s\vec{MN} + t\vec{MK}$と表せる。

$-\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = s(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) + t(-\frac{1}{2}\vec{a} + k\vec{c})$

$-\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = (\frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t)\vec{a} + \frac{2}{5}s\vec{b} + kt\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t = -\frac{1}{2}$

$\frac{2}{5}s = 1$

$kt = \frac{1}{3}$

$s = \frac{5}{2}$

$\frac{5}{4} - \frac{1}{2}t = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}t = \frac{5}{4} + \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$

$t = \frac{7}{2}$

$k \cdot \frac{7}{2} = \frac{1}{3}$

$k = \frac{2}{21}$

(3)

3点M, N, Kの定める平面上の点をPとすると、

$\vec{MP} = s\vec{MN} + t\vec{MK}$

$\vec{OP} = \vec{OM} + s\vec{MN} + t\vec{MK}$

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + s(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) + t(-\frac{1}{2}\vec{a} + k\vec{c})$

$\vec{OP} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t)\vec{a} + \frac{2}{5}s\vec{b} + kt\vec{c}$

辺GF上の点をPとすると、実数$l$を用いて

$\vec{OP} = (1-l)\vec{OG} + l\vec{OF} = (1-l)(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) + l(\vec{OB} + \vec{OC})$

$\vec{OP} = (1-l)\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - l\vec{a}$

$\vec{OP} = (1-l)\vec{a} + (1-l+l)\vec{b} + (1-l+l)\vec{c} - (1-l)\vec{c} = (1-l)\vec{a} + \vec{b}+ (1-l)\vec{c}$

$\vec{OP} = (1-l)\vec{a} + \vec{b} + l\vec{c}$

したがって、

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t = 1-l$

$\frac{2}{5}s = 1$

$kt = l$

$s = \frac{5}{2}$

$\frac{1}{2} + \frac{5}{4} - \frac{1}{2}t = 1-l$

$\frac{7}{4} - \frac{1}{2}t = 1-l$

$l = 1 - \frac{7}{4} + \frac{1}{2}t = -\frac{3}{4} + \frac{1}{2}t$

$kt = -\frac{3}{4} + \frac{1}{2}t$

$kt - \frac{1}{2}t = -\frac{3}{4}$

$t(k - \frac{1}{2}) = -\frac{3}{4}$

$t = \frac{-\frac{3}{4}}{k - \frac{1}{2}} = \frac{-3}{4k - 2} = \frac{3}{2-4k}$

$l = \frac{3k}{2-4k}$

$0 \le l \le 1$

$0 \le \frac{3k}{2-4k} \le 1$

$0 \le \frac{3k}{2-4k}$より、$2-4k > 0$なので$0 < k < \frac{1}{2}$

$\frac{3k}{2-4k} \le 1$

$3k \le 2 - 4k$

$7k \le 2$

$k \le \frac{2}{7}$

したがって、$0 < k \le \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

$\vec{ML} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{a} + k\vec{c}$

(2) $k = \frac{2}{21}$

(3) $0 < k \le \frac{2}{7}$