2直線 $x + ay + 1 = 0$ と $ax + (a+2)y + 3 = 0$ が平行であるときと垂直であるときの定数 $a$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

2直線 $x + ay + 1 = 0$ と $ax + (a+2)y + 3 = 0$ が平行であるときと垂直であるときの定数 $a$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行であるとき

2直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が平行である条件は、

$a_1b_2 - a_2b_1 = 0$ です。

この条件を今回の問題に当てはめると、

$1 \cdot (a+2) - a \cdot a = 0$

$a + 2 - a^2 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

よって、$a = 2, -1$

$a=2$のとき、2直線は$x+2y+1=0$と$2x+4y+3=0$となり、これらは平行である。

$a=-1$のとき、2直線は$x-y+1=0$と$-x+y+3=0$となり、これらは平行である。

(2) 2直線が垂直であるとき

2直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が垂直である条件は、

$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ です。

この条件を今回の問題に当てはめると、

$1 \cdot a + a \cdot (a+2) = 0$

$a + a^2 + 2a = 0$

$a^2 + 3a = 0$

$a(a + 3) = 0$

よって、$a = 0, -3$

$a=0$のとき、2直線は$x+1=0$と$2y+3=0$となり、これらは垂直である。

$a=-3$のとき、2直線は$x-3y+1=0$と$-3x-y+3=0$となり、これらは垂直である。

3. 最終的な答え

平行であるとき: $a = 2, -1$

垂直であるとき: $a = 0, -3$