問題1では、$sin \frac{5}{8}\pi$と$cos \frac{5}{8}\pi$、および$sin \frac{7}{12}\pi$と$cos \frac{7}{12}\pi$の値を求める問題です。 問題2では、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$で、$sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき、$cos \alpha$, $sin \frac{\alpha}{2}$, $cos \frac{\alpha}{2}$の値を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

問題1では、$sin \frac{5}{8}\pi$と$cos \frac{5}{8}\pi$、および$sin \frac{7}{12}\pi$と$cos \frac{7}{12}\pi$の値を求める問題です。

問題2では、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$で、$sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき、$cos \alpha$, $sin \frac{\alpha}{2}$, $cos \frac{\alpha}{2}$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $sin \frac{5}{8}\pi$と$cos \frac{5}{8}\pi$

半角の公式を利用します。

$sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - cos\theta}{2}$

$cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + cos\theta}{2}$

$\frac{5}{8}\pi = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4}\pi$

$cos \frac{5}{4}\pi = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin \frac{5}{8}\pi = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$cos \frac{5}{8}\pi = - \sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(2) $sin \frac{7}{12}\pi$と$cos \frac{7}{12}\pi$

和積の公式を利用します。

$\frac{7}{12}\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$

$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

$sin \frac{7}{12}\pi = sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = sin\frac{\pi}{3} cos\frac{\pi}{4} + cos\frac{\pi}{3} sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$cos \frac{7}{12}\pi = cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = cos\frac{\pi}{3} cos\frac{\pi}{4} - sin\frac{\pi}{3} sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

問題2:

(1) $cos \alpha$

$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$より、$cos \alpha < 0$

$cos \alpha = - \sqrt{\frac{1}{9}} = - \frac{1}{3}$

(2) $sin \frac{\alpha}{2}$

半角の公式を利用します。

$sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{1}{3})}{2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$なので、$sin \frac{\alpha}{2} > 0$

$sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $cos \frac{\alpha}{2}$

半角の公式を利用します。

$cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{1}{3})}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$なので、$cos \frac{\alpha}{2} > 0$

$cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $sin \frac{5}{8}\pi = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$, $cos \frac{5}{8}\pi = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(2) $sin \frac{7}{12}\pi = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $cos \frac{7}{12}\pi = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

問題2:

(1) $cos \alpha = -\frac{1}{3}$

(2) $sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$