三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $BC = 4$, $\angle B = 120^{\circ}$ のとき、$AC$の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある以下の問題を解きます。

(4) AB = 3、BC = 4、∠B = 120°のとき、ACの長さを求めなさい。

(5) $cos \theta = \frac{2\sqrt{6}}{7}$ のとき、$sin \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0° \leq \theta \leq 90°$ とする。

(6) 2進数 1111 を 10 進数に直しなさい。

**問題4**

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $BC = 4$, $\angle B = 120^{\circ}$ のとき、$AC$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理は、三角形ABCにおいて、$a, b, c$を各辺の長さ、$\angle C$を辺$a,b$の間の角としたとき、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{C}$と表される。

今回、$AC$を求めたいので、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{120^{\circ}}$となる。

$\cos{120^{\circ}} = -\frac{1}{2}$であるから、$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2})$となる。

$AC^2 = 9 + 16 + 12 = 37$

$AC = \sqrt{37}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{37}$

**問題5**

1. 問題の内容

$cos \theta = \frac{2\sqrt{6}}{7}$のとき、$sin \theta$の値を求めよ。ただし、$0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}$とする。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係 $sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$ を用いる。

$sin^2 \theta = 1 - cos^2 \theta$

$sin^2 \theta = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{7})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{49} = 1 - \frac{24}{49} = \frac{49 - 24}{49} = \frac{25}{49}$

$sin \theta = \pm \sqrt{\frac{25}{49}} = \pm \frac{5}{7}$

ただし、$0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}$であるから、$sin \theta \geq 0$である。

よって、$sin \theta = \frac{5}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{7}$

**問題6**

1. 問題の内容

2進数 1111 を10進数に変換せよ。

2. 解き方の手順

2進数は、右から順に、$2^0, 2^1, 2^2, 2^3, ...$ の位を持つ。

よって、2進数 1111 は、

$1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$

3. 最終的な答え

15