地面に垂直に立つ木PQがあり、地面上の点A, Bにおいて、$\angle PAQ = 30^\circ, \angle QAB = 45^\circ, \angle QBA = 60^\circ, BQ = 20m$であるとき、木PQの高さを求める。

1. 問題の内容

地面に垂直に立つ木PQがあり、地面上の点A, Bにおいて、$\angle PAQ = 30^\circ, \angle QAB = 45^\circ, \angle QBA = 60^\circ, BQ = 20m$であるとき、木PQの高さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AQB$を求める。三角形の内角の和は180°なので、$\angle AQB = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$となる。

次に、$\triangle AQB$に正弦定理を適用する。

$\frac{AB}{\sin \angle AQB} = \frac{AQ}{\sin \angle QBA} = \frac{BQ}{\sin \angle QAB}$

$\frac{BQ}{\sin \angle QAB} = \frac{20}{\sin 45^\circ} = \frac{20}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}$

$AQ = 20\sqrt{2}\sin 60^\circ = 20\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{6}$

$PQ = AQ\tan 30^\circ = 10\sqrt{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$10\sqrt{2}$