四角形ABCDにおいて、AB=$1+\sqrt{3}$、BC=2、DA=$2\sqrt{2}$、$\angle A = 105^\circ$、$\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さを求め、この四角形の面積を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AB=$1+\sqrt{3}$、BC=2、DA=$2\sqrt{2}$、$\angle A = 105^\circ$、$\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さを求め、この四角形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = (1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1+\sqrt{3})(2)\cos 60^\circ$

$AC^2 = (1+2\sqrt{3}+3) + 4 - 4(1+\sqrt{3})\frac{1}{2}$

$AC^2 = 4+2\sqrt{3}+4 - 2 - 2\sqrt{3}$

$AC^2 = 6$

$AC = \sqrt{6}$

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積 = $\triangle ABC$の面積 + $\triangle ADC$の面積

$\triangle ABC$の面積 = $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} (1+\sqrt{3})(2) \sin 60^\circ = (1+\sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}+3}{2}$

三角形ADCにおいて、余弦定理を用いる。

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos A$ は使えない(∠Aを挟む辺の長さが不明)

三角形ADCにおいて、$\angle CAD = \alpha$、$\angle ACD = \gamma$とすると、$\alpha + \gamma = 180^\circ - \angle D$である。

$\triangle ADC$において、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2\cdot AD\cdot CD\cos D$

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2\cdot AC\cdot CD\cos \gamma$

$CD = x$とおくと、

$\angle BAC = \beta$とおくと、$\beta = \angle A-\angle CAD$

$\angle ABC = 60^{\circ}$なので、$\angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ}-\angle BAC = 120^{\circ} - \angle BAC = 120^{\circ}-\beta$

$\gamma = \angle ACB = 120^{\circ}-\beta$

$\triangle ADC$において、正弦定理より、$\frac{AD}{\sin\gamma} = \frac{AC}{\sin D}=\frac{CD}{\sin \alpha}$

$D=360 - (105+60+\angle C)$

ヘロンの公式で求める

三角形ADCの面積はわからないので、四角形ABCDを二つの三角形に分割して解くのは難しい

$\angle A+\angle C = 105^{\circ}+C$

$\angle B+\angle D = 60^{\circ}+D$

$\frac{1}{2}AB * BC sin(B) = \frac{1}{2}(1+\sqrt(3)) *2 * \frac{\sqrt3}{2} = \frac{1}{2}*( \sqrt3+3) = \frac{3+\sqrt3}{2}$

$S_{ADC} = \frac{1}{2} * AC * AD * sin(<CAD)$

$6 = 8 + x^2 -2*\sqrt(8) *x cos(D)$

とりあえず三角形ABCの面積は$(\sqrt{3}+3)/2$

三角形ACDで、$CD = \sqrt{2}$のとき、

ヘロンの公式

s= ($x+2\sqrt2+\sqrt6)/2 = (\sqrt2+2\sqrt2+\sqrt6)/2$

面積 = $\sqrt{s(s-x)(s-2\sqrt2)(s-\sqrt6)}$

$\angle CAD = 45$のとき、

$CD = \sqrt{2}$

三角形ADCの面積 = $\frac{1}{2}AD\cdot AC\sin \angle DAC = \frac{1}{2}2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\sin 45^\circ=\frac{1}{2}2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$

四角形ABCDの面積 = $\frac{3+\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3} = \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

対角線ACの長さは$\sqrt{6}$である。

この四角形の面積は$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$である。