円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=CD=3, DA=2であるとき、この四角形が内接する円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=CD=3, DA=2であるとき、この四角形が内接する円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、四角形を対角線ACで分割し、三角形ABCと三角形ADCを考えます。

それぞれの三角形に対して余弦定理を適用し、$cos∠B$と$cos∠D$の関係を求めます。

円に内接する四角形の対角の和は180°であることから、$∠B+∠D=180°$なので、$cos∠D = cos(180°-∠B) = -cos∠B$が成り立ちます。

この関係を利用して$cos∠B$の値を求めます。

次に、三角形ABCに対して余弦定理を適用し、対角線ACの長さを求めます。

最後に、三角形ABCに対して正弦定理を適用し、外接円の半径を求めます。

(1)三角形ABCに余弦定理を適用します。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos∠B$

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot cos∠B$

$AC^2 = 34 - 30 cos∠B$

(2)三角形ADCに余弦定理を適用します。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot cos∠D$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot cos∠D$

$AC^2 = 13 - 12 cos∠D$

$AC^2 = 13 - 12 (-cos∠B)$

$AC^2 = 13 + 12 cos∠B$

(3)AC^2が等しいので、

$34 - 30 cos∠B = 13 + 12 cos∠B$

$21 = 42 cos∠B$

$cos∠B = \frac{1}{2}$

(4) $cos∠B = \frac{1}{2}$なので、$∠B = 60°$

したがって、$sin∠B = sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(5)対角線ACの長さを求める

$AC^2 = 34 - 30 cos∠B = 34 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19$

$AC = \sqrt{19}$

(6)正弦定理により、

$\frac{AC}{sin∠B} = 2R$

$2R = \frac{\sqrt{19}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$2R = \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}}$

$2R = \frac{2\sqrt{57}}{3}$

$R = \frac{\sqrt{57}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{57}}{3}$