点A(2, 3, 4)を通り、ベクトル $\vec{v} = (-2, 1, 2)$ に平行な直線を $l$ とする。直線 $l$ と $zx$ 平面の交点Pの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(2, 3, 4)を通り、ベクトル $\vec{v} = (-2, 1, 2)$ に平行な直線を $l$ とする。直線 $l$ と $zx$ 平面の交点Pの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線 $l$ 上の点は、パラメータ $t$ を用いて次のように表すことができます。

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\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{v}

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ここで、$\vec{OP}$ は点Pの位置ベクトル、$\vec{OA}$ は点Aの位置ベクトルです。

これを成分で表すと、

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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2t \\ 3 + t \\ 4 + 2t \end{pmatrix}

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点Pは $zx$ 平面上の点なので、$y$ 座標は0となります。したがって、$3 + t = 0$ より、$t = -3$ となります。

この $t$ の値を $\vec{OP}$ の式に代入すると、

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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2(-3) \\ 3 + (-3) \\ 4 + 2(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 6 \\ 0 \\ 4 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}

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よって、点Pの座標は (8, 0, -2) となります。

3. 最終的な答え

P(8, 0, -2)