2点A(3,0,4), B(4,2,2)を通る直線ABと、原点Oを中心とし、半径$2\sqrt{6}$の球面との交点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2点A(3,0,4), B(4,2,2)を通る直線ABと、原点Oを中心とし、半径$2\sqrt{6}$の球面との交点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線ABのベクトル方程式を求めます。

$\vec{p} = (1-t) \vec{a} + t \vec{b}$

ここで、$\vec{a} = (3,0,4)$, $\vec{b} = (4,2,2)$です。

$\vec{p} = (1-t)(3,0,4) + t(4,2,2)$

$\vec{p} = (3-3t+4t, 0+2t, 4-4t+2t)$

$\vec{p} = (3+t, 2t, 4-2t)$

したがって、直線AB上の点の座標は $(3+t, 2t, 4-2t)$ と表せます。

次に、原点Oを中心とする半径$2\sqrt{6}$の球面の方程式は、

$x^2 + y^2 + z^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$

です。

直線AB上の点$(3+t, 2t, 4-2t)$が球面上の点であるとき、

$(3+t)^2 + (2t)^2 + (4-2t)^2 = 24$

$9+6t+t^2 + 4t^2 + 16-16t+4t^2 = 24$

$9t^2 - 10t + 25 = 24$

$9t^2 - 10t + 1 = 0$

$(9t-1)(t-1) = 0$

$t = \frac{1}{9}, 1$

$t = \frac{1}{9}$ のとき、交点の座標は

$(3+\frac{1}{9}, 2\cdot\frac{1}{9}, 4-2\cdot\frac{1}{9}) = (\frac{28}{9}, \frac{2}{9}, \frac{34}{9})$

$t = 1$ のとき、交点の座標は

$(3+1, 2\cdot1, 4-2\cdot1) = (4, 2, 2)$

3. 最終的な答え

交点の座標は$(\frac{28}{9}, \frac{2}{9}, \frac{34}{9})$と$(4, 2, 2)$です。