三角形ABCにおいて、辺ABの中点をMとする。点Mを通り辺BC, ACに平行な直線と、辺AC, BCとの交点をそれぞれD, Eとする。このとき、三角形AMDと三角形MBEが合同であることを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABの中点をMとする。点Mを通り辺BC, ACに平行な直線と、辺AC, BCとの交点をそれぞれD, Eとする。このとき、三角形AMDと三角形MBEが合同であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) Mは辺ABの中点なので、$AM = BM$。

(2) MDはBCと平行なので、$∠AMD$と$∠MBE$は同位角として等しい。つまり、$∠AMD = ∠MBE$。

(3) MEはACと平行なので、$∠AME$と$∠DAE$は同位角として等しい。

したがって、$∠AME = ∠A$となる。

また、三角形の内角の和は180度なので、三角形ABCにおいて、$∠A + ∠B + ∠C = 180°$。

三角形MBEにおいて、$∠BME + ∠MBE + ∠B = 180°$。

MDはBCと平行なので、$∠MDA = ∠BCA$。

よって、$∠AMD = ∠BME$となる。

さらに、MEはACと平行なので、$∠MEB = ∠CAB$となる。

したがって、三角形AMDと三角形MBEにおいて、$AM=BM$, $∠AMD = ∠MBE$, $∠MAD = ∠BEM$。

これは、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいことを示しているので、三角形AMDと三角形MBEは合同である。

3. 最終的な答え

三角形AMDと三角形MBEは合同である。