点 $A(2, 1, 5)$ を通り、ベクトル $\vec{v} = (-1, 3, 1)$ に平行な直線を $l$ とする。直線 $l$ と $yz$ 平面の交点 $P$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $A(2, 1, 5)$ を通り、ベクトル $\vec{v} = (-1, 3, 1)$ に平行な直線を $l$ とする。直線 $l$ と $yz$ 平面の交点 $P$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線 $l$ の方程式を媒介変数 $t$ を用いて表します。

$l$ 上の任意の点 $(x, y, z)$ は、

$$$$

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - t \\ 1 + 3t \\ 5 + t \end{pmatrix}

$$$$

と表せます。

$yz$ 平面上の点は $x$ 座標が 0 です。したがって、交点 $P$ の $x$ 座標は 0 となります。

$2 - t = 0$ より、$t = 2$ です。

このとき、交点 $P$ の $y$ 座標は $1 + 3t = 1 + 3(2) = 1 + 6 = 7$ です。

交点 $P$ の $z$ 座標は $5 + t = 5 + 2 = 7$ です。

したがって、交点 $P$ の座標は $(0, 7, 7)$ となります。

3. 最終的な答え

P (0, 7, 7)