点$(0, 5, 6)$を通り、ベクトル$\vec{v} = (1, -3, -4)$に平行な直線を$l$とする。直線$l$上の点$(x, y, z)$は$(x, y, z) = (0, 5, 6) + t(1, -3, -4)$と表せる。このとき、直線$l$と球面$S: x^2 + y^2 + z^2 = 9$の交点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

点$(0, 5, 6)$を通り、ベクトル$\vec{v} = (1, -3, -4)$に平行な直線を$l$とする。直線$l$上の点$(x, y, z)$は$(x, y, z) = (0, 5, 6) + t(1, -3, -4)$と表せる。このとき、直線$l$と球面$S: x^2 + y^2 + z^2 = 9$の交点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

直線$l$上の点$(x, y, z)$は、パラメータ$t$を用いて

$x = t$

$y = 5 - 3t$

$z = 6 - 4t$

と表せる。

この点を球面$S: x^2 + y^2 + z^2 = 9$の式に代入する。

$t^2 + (5 - 3t)^2 + (6 - 4t)^2 = 9$

$t^2 + (25 - 30t + 9t^2) + (36 - 48t + 16t^2) = 9$

$t^2 + 25 - 30t + 9t^2 + 36 - 48t + 16t^2 - 9 = 0$

$26t^2 - 78t + 52 = 0$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

$(t - 1)(t - 2) = 0$

よって、$t = 1, 2$

$t = 1$のとき、

$x = 1$

$y = 5 - 3(1) = 2$

$z = 6 - 4(1) = 2$

点$(1, 2, 2)$

$t = 2$のとき、

$x = 2$

$y = 5 - 3(2) = -1$

$z = 6 - 4(2) = -2$

点$(2, -1, -2)$

3. 最終的な答え

$(1, 2, 2)$と$(2, -1, -2)$