(1) 2点 $A(-1, 5)$ と $B(3, 3)$ を直径の両端とする円 $C_1$ の方程式を求める。 (2) 右図の円 $C_2$ の方程式を求める。ただし、円は点 $(0, 1)$ と $(0, 3)$ を通り、$x$ 軸に接している。 (3) 円 $C_3: x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$ を $xy$ 平面上に描く。

幾何学円の方程式座標平面距離中心
2025/8/16

1. 問題の内容

(1) 2点 A(1,5)A(-1, 5)B(3,3)B(3, 3) を直径の両端とする円 C1C_1 の方程式を求める。
(2) 右図の円 C2C_2 の方程式を求める。ただし、円は点 (0,1)(0, 1)(0,3)(0, 3) を通り、xx 軸に接している。
(3) 円 C3:x2+y24x+2y=0C_3: x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0xyxy 平面上に描く。

2. 解き方の手順

(1)
直径の両端がわかっているので、円の中心は2点の中点、半径は2点間の距離の半分で求められる。
円の中心 (a,b)(a, b)
a=1+32=1a = \frac{-1 + 3}{2} = 1
b=5+32=4b = \frac{5 + 3}{2} = 4
よって、円の中心は (1,4)(1, 4) である。
半径 rr は、2点間の距離の公式を使って、
r=12(3(1))2+(35)2=1242+(2)2=1216+4=1220=1225=5r = \frac{1}{2} \sqrt{(3 - (-1))^2 + (3 - 5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 4} = \frac{1}{2} \sqrt{20} = \frac{1}{2} 2\sqrt{5} = \sqrt{5}
よって、円の方程式は
(x1)2+(y4)2=(5)2(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{5})^2
(x1)2+(y4)2=5(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 5
(2)
C2C_2xx 軸に接しており、yy 軸との交点が (0,1)(0, 1)(0,3)(0, 3) であることから、円の中心の yy 座標は (1+3)/2=2(1+3)/2 = 2 であり、半径は中心から xx 軸までの距離であることからr=2r = 2である。また、円の中心のxx 座標をaa とすると、円の方程式は (xa)2+(y2)2=4(x - a)^2 + (y - 2)^2 = 4と表せる。
(0,1)(0, 1) を通るので、
(0a)2+(12)2=4(0 - a)^2 + (1 - 2)^2 = 4
a2+1=4a^2 + 1 = 4
a2=3a^2 = 3
a=±3a = \pm\sqrt{3}
図からa>0a>0なので、円の中心は(3,2)(\sqrt{3}, 2)であり、半径は2である。
よって、円 C2C_2 の方程式は、
(x3)2+(y2)2=4(x - \sqrt{3})^2 + (y - 2)^2 = 4
(3)
x2+y24x+2y=0x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0
(x24x)+(y2+2y)=0(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = 0
(x24x+4)+(y2+2y+1)=4+1(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 4 + 1
(x2)2+(y+1)2=5(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5
よって、中心が (2,1)(2, -1)、半径が 5\sqrt{5} の円を描く。

3. 最終的な答え

(1) (x1)2+(y4)2=5(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 5
(2) (x3)2+(y2)2=4(x - \sqrt{3})^2 + (y - 2)^2 = 4
(3) 中心 (2,1)(2, -1)、半径 5\sqrt{5} の円。

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