$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で $\cos \theta = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で $\cos \theta = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta$ の値を求める。

三角関数の相互関係の公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使う。

$\cos \theta = -\frac{2}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + (-\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より、$\sin \theta \geq 0$ なので、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\tan \theta$ の値を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を使う。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ と $\cos \theta = -\frac{2}{3}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \times (-\frac{3}{2}) = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$