円 $C: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0$ と直線 $l: 4x - 3y + a = 0$ が与えられている。ただし、$a$ は正の定数である。 (1) 円 $C$ の中心 $A$ と半径 $r$ を求める。 (2) 点 $A$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線 $m$ の方程式を求める。また、直線 $l$ が円 $C$ と接するときの $a$ の値を求める。 (3) (2)のとき、直線 $l$ と直線 $m$ の交点を $B$、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-1$ である点を $C$、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $D$ とする。3点 $B, C, D$ を通る円の中心 $E$ を求め、$\triangle ADE$ の面積 $S$ を求める。

幾何学直線方程式接線面積
2025/8/16

1. 問題の内容

C:x2+y28x6y+9=0C: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0 と直線 l:4x3y+a=0l: 4x - 3y + a = 0 が与えられている。ただし、aa は正の定数である。
(1) 円 CC の中心 AA と半径 rr を求める。
(2) 点 AA を通り、直線 ll に垂直な直線 mm の方程式を求める。また、直線 ll が円 CC と接するときの aa の値を求める。
(3) (2)のとき、直線 ll と直線 mm の交点を BB、直線 ll 上の xx 座標が 1-1 である点を CC、直線 mmxx 軸の交点を DD とする。3点 B,C,DB, C, D を通る円の中心 EE を求め、ADE\triangle ADE の面積 SS を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 CC の方程式を平方完成する。
x28x+y26y+9=0x^2 - 8x + y^2 - 6y + 9 = 0
(x4)216+(y3)29+9=0(x - 4)^2 - 16 + (y - 3)^2 - 9 + 9 = 0
(x4)2+(y3)2=16(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 16
よって、中心 AA(4,3)(4, 3)、半径 rr44 である。
(2) 直線 l:4x3y+a=0l: 4x - 3y + a = 0 の傾きは 43\frac{4}{3} である。
直線 mm は直線 ll に垂直なので、傾きは 34-\frac{3}{4} であり、点 A(4,3)A(4, 3) を通る。
よって、直線 mm の方程式は y3=34(x4)y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 4)
y=34x+3+3y = -\frac{3}{4}x + 3 + 3
y=34x+6y = -\frac{3}{4}x + 6
直線 ll が円 CC と接するとき、円の中心 A(4,3)A(4, 3) と直線 ll の距離が半径 r=4r = 4 に等しくなる。
4(4)3(3)+a42+(3)2=4\frac{|4(4) - 3(3) + a|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = 4
169+a5=4\frac{|16 - 9 + a|}{5} = 4
7+a=20|7 + a| = 20
7+a=207 + a = 20 または 7+a=207 + a = -20
a=13a = 13 または a=27a = -27
aa は正の定数なので、a=13a = 13
(3)
(2) のとき、a=13a = 13 なので、直線 ll4x3y+13=04x - 3y + 13 = 0 である。
直線 mmy=34x+6y = -\frac{3}{4}x + 6 である。
交点 BB を求める。
4x3(34x+6)+13=04x - 3(-\frac{3}{4}x + 6) + 13 = 0
4x+94x18+13=04x + \frac{9}{4}x - 18 + 13 = 0
254x=5\frac{25}{4}x = 5
x=45x = \frac{4}{5}
y=3445+6=35+6=275y = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} + 6 = -\frac{3}{5} + 6 = \frac{27}{5}
よって、B(45,275)B(\frac{4}{5}, \frac{27}{5})
直線 ll 上の xx 座標が 1-1 である点を CC とする。
4(1)3y+13=04(-1) - 3y + 13 = 0
43y+13=0-4 - 3y + 13 = 0
3y=9-3y = -9
y=3y = 3
よって、C(1,3)C(-1, 3)
直線 mmxx 軸の交点 DD を求める。
0=34x+60 = -\frac{3}{4}x + 6
34x=6\frac{3}{4}x = 6
x=8x = 8
よって、D(8,0)D(8, 0)
3点 B(45,275),C(1,3),D(8,0)B(\frac{4}{5}, \frac{27}{5}), C(-1, 3), D(8, 0) を通る円の中心 E(x,y)E(x, y) を求める。
(x45)2+(y275)2=(x+1)2+(y3)2=(x8)2+y2(x - \frac{4}{5})^2 + (y - \frac{27}{5})^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 8)^2 + y^2
(x45)2+(y275)2=(x+1)2+(y3)2(x - \frac{4}{5})^2 + (y - \frac{27}{5})^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2
x285x+1625+y2545y+72925=x2+2x+1+y26y+9x^2 - \frac{8}{5}x + \frac{16}{25} + y^2 - \frac{54}{5}y + \frac{729}{25} = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9
85x545y+74525=2x6y+10-\frac{8}{5}x - \frac{54}{5}y + \frac{745}{25} = 2x - 6y + 10
185x245y+7452525025=0-\frac{18}{5}x - \frac{24}{5}y + \frac{745}{25} - \frac{250}{25} = 0
185x245y+49525=0-\frac{18}{5}x - \frac{24}{5}y + \frac{495}{25} = 0
18x+24y=4955=9918x + 24y = \frac{495}{5} = 99
6x+8y=336x + 8y = 33
(x8)2+y2=(x+1)2+(y3)2(x - 8)^2 + y^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2
x216x+64+y2=x2+2x+1+y26y+9x^2 - 16x + 64 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9
16x+64=2x6y+10-16x + 64 = 2x - 6y + 10
18x6y=5418x - 6y = 54
3xy=93x - y = 9
y=3x9y = 3x - 9
6x+8(3x9)=336x + 8(3x - 9) = 33
6x+24x72=336x + 24x - 72 = 33
30x=10530x = 105
x=10530=72x = \frac{105}{30} = \frac{7}{2}
y=3(72)9=212182=32y = 3(\frac{7}{2}) - 9 = \frac{21}{2} - \frac{18}{2} = \frac{3}{2}
E(72,32)E(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})
ADE\triangle ADE の面積 SS を求める。
A(4,3),D(8,0),E(72,32)A(4, 3), D(8, 0), E(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})
S=12(4(032)+8(323)+72(30))S = \frac{1}{2} | (4(0 - \frac{3}{2}) + 8(\frac{3}{2} - 3) + \frac{7}{2}(3 - 0) ) |
S=12612+212S = \frac{1}{2} | -6 - 12 + \frac{21}{2} |
S=1218+212=1236+212S = \frac{1}{2} | -18 + \frac{21}{2} | = \frac{1}{2} | \frac{-36 + 21}{2} |
S=12152=154S = \frac{1}{2} | -\frac{15}{2} | = \frac{15}{4}

3. 最終的な答え

A(4, 3), r = 4
y = -3/4 x + 6
a = 13
E(7/2, 3/2)
S = 15/4

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