円 $C: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0$ と直線 $l: 4x - 3y + a = 0$ が与えられている。ただし、$a$ は正の定数である。 (1) 円 $C$ の中心 $A$ と半径 $r$ を求める。 (2) 点 $A$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線 $m$ の方程式を求める。また、直線 $l$ が円 $C$ と接するときの $a$ の値を求める。 (3) (2)のとき、直線 $l$ と直線 $m$ の交点を $B$、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-1$ である点を $C$、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $D$ とする。3点 $B, C, D$ を通る円の中心 $E$ を求め、$\triangle ADE$ の面積 $S$ を求める。
2025/8/16
1. 問題の内容
円 と直線 が与えられている。ただし、 は正の定数である。
(1) 円 の中心 と半径 を求める。
(2) 点 を通り、直線 に垂直な直線 の方程式を求める。また、直線 が円 と接するときの の値を求める。
(3) (2)のとき、直線 と直線 の交点を 、直線 上の 座標が である点を 、直線 と 軸の交点を とする。3点 を通る円の中心 を求め、 の面積 を求める。
2. 解き方の手順
(1) 円 の方程式を平方完成する。
よって、中心 は 、半径 は である。
(2) 直線 の傾きは である。
直線 は直線 に垂直なので、傾きは であり、点 を通る。
よって、直線 の方程式は
直線 が円 と接するとき、円の中心 と直線 の距離が半径 に等しくなる。
または
または
は正の定数なので、
(3)
(2) のとき、 なので、直線 は である。
直線 は である。
交点 を求める。
よって、
直線 上の 座標が である点を とする。
よって、
直線 と 軸の交点 を求める。
よって、
3点 を通る円の中心 を求める。
の面積 を求める。
3. 最終的な答え
A(4, 3), r = 4
y = -3/4 x + 6
a = 13
E(7/2, 3/2)
S = 15/4