一辺の長さが4の正四面体ABCDがある。辺AB上にAE:EB=3:1となる点Eをとり、辺ADの中点をFとする。このとき、線分CEの長さを求め、次に三角形CEFの面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正四面体ABCDがある。辺AB上にAE:EB=3:1となる点Eをとり、辺ADの中点をFとする。このとき、線分CEの長さを求め、次に三角形CEFの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分CEの長さを求める。

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いる。

$AE = \frac{3}{4}AB = \frac{3}{4} \times 4 = 3$

$BC = 4$

$\angle ABC = 60^\circ$

よって、

$CE^2 = AE^2 + BC^2 - 2 \times AE \times BC \times \cos{\angle ABC}$

$CE^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos{60^\circ}$

$CE^2 = 9 + 16 - 24 \times \frac{1}{2}$

$CE^2 = 25 - 12 = 13$

したがって、$CE = \sqrt{13}$

(2) △CEFの面積を求める。

まず、EFの長さを求める。

三角形AEFにおいて、AF=2, AE=3, $\angle EAF = 60^\circ$

$EF^2 = AE^2 + AF^2 - 2 \times AE \times AF \times \cos{60^\circ}$

$EF^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \times 3 \times 2 \times \frac{1}{2}$

$EF^2 = 9 + 4 - 6 = 7$

$EF = \sqrt{7}$

次に、CFの長さを求める。

FはADの中点なので、CFは正三角形ACDの中線であり、高さでもある。

したがって、

$CF = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}$

三角形CEFの3辺の長さがわかったので、ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{CE + EF + CF}{2} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{7} + 2\sqrt{3}}{2}$

面積$S = \sqrt{s(s-CE)(s-EF)(s-CF)}$

しかし、このまま計算するのは難しいので、別の方法を考える。

ベクトルで考える。

$\vec{CA} = \vec{a}, \vec{CB} = \vec{b}, \vec{CD} = \vec{c}$ とおく。

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 4$

$\vec{CE} = \vec{CA} + \vec{AE} = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{AB} = \vec{a} + \frac{3}{4}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

$\vec{CF} = \frac{1}{2} \vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{c}$

$\vec{EF} = \vec{CF} - \vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{3}{4}\vec{b}$

$S = \frac{1}{2} |\vec{CE} \times \vec{CF}| = \frac{1}{2} | (\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}) \times (\frac{1}{2}\vec{c}) | = \frac{1}{8} | \vec{a} \times \vec{c} + 3\vec{b} \times \vec{c} |$

$|\vec{a} \times \vec{c}| = 4 \times 4 \times \sin{60^\circ} = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$

$|\vec{b} \times \vec{c}| = 8\sqrt{3}$

$(\vec{a} \times \vec{c})$と$(\vec{b} \times \vec{c})$は直交するので、

$S = \frac{1}{8} \sqrt{(8\sqrt{3})^2 + (3 \times 8\sqrt{3})^2} = \frac{1}{8} \sqrt{192 + 1728} = \frac{1}{8} \sqrt{1920} = \frac{1}{8} \sqrt{64 \times 30} = \frac{8\sqrt{30}}{8} = \sqrt{30} /2$.

間違い。

別のアプローチ

$CF = 2\sqrt{3}$, $CE = \sqrt{13}$, $EF = \sqrt{7}$.

これらの長さから高さを求める。$CE^2 = h^2 + x^2$, $EF^2 = h^2 + (2\sqrt{3} - x)^2$

$13 = h^2 + x^2$, $7 = h^2 + 12 - 4\sqrt{3} x + x^2$.

$6 = -12 + 4\sqrt{3}x$.

$18 = 4\sqrt{3} x$.

$x = \frac{18}{4\sqrt{3}} = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$h^2 = 13 - (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 = 13 - \frac{27}{4} = \frac{52-27}{4} = \frac{25}{4}$

$h = \frac{5}{2}$

$S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $CE = \sqrt{13}$

(2) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$