(1) 2点 A(-1, 5) と B(3, 3) を直径の両端とする円 C1 の方程式を求めます。 (2) 与えられた図の円 C2 の方程式を求めます。 (3) 円 C3 : $x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$ を xy 平面上に描きます。

1. 問題の内容

(1) 2点 A(-1, 5) と B(3, 3) を直径の両端とする円 C1 の方程式を求めます。

(2) 与えられた図の円 C2 の方程式を求めます。

(3) 円 C3 : $x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$ を xy 平面上に描きます。

2. 解き方の手順

(1)

* 円の中心は、直径の両端の中点なので、点Aと点Bの中点を求めます。中心の座標を (h, k) とすると、

$h = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

$k = \frac{5 + 3}{2} = 4$

したがって、円の中心は (1, 4) です。

* 円の半径は、中心と A (または B) の間の距離です。中心 (1, 4) と A(-1, 5) の距離を求めます。

$r = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

したがって、半径は $\sqrt{5}$ です。

* 円の方程式は、$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ で表されます。これに、中心 (1, 4) と半径 $\sqrt{5}$ を代入します。

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 5$

展開すると $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 5$

整理すると $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 12 = 0$

(2)

* 与えられた図から、円C2はx軸に接しています。円とx軸の接点の座標は(2,0)に見えます。またy軸との交点は(0,1)と(0,3)に見えます。

* 円C2の中心のx座標は2だと推測できます。円の中心を(2,b)とすると、半径はbです。円の方程式は$(x-2)^2 + (y-b)^2 = b^2$と表せます。

* 円は(0,1)を通るので、$(0-2)^2 + (1-b)^2 = b^2$が成立します。

* $4 + 1 - 2b + b^2 = b^2$

* $5 - 2b = 0$

* $b = \frac{5}{2}$

* 円の方程式は $(x-2)^2 + (y-\frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$

* 展開すると、$x^2 -4x + 4 + y^2 -5y + \frac{25}{4} = \frac{25}{4}$

* 整理すると、$x^2 + y^2 -4x -5y + 4 = 0$

(3)

* $x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$ を変形して、円の中心と半径を求めます。

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 4 + 1$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$

* したがって、円 C3 の中心は (2, -1) で、半径は $\sqrt{5}$ です。

この円を xy 平面上に描きます。中心 (2, -1) を定め、半径 $\sqrt{5}$ の円を描きます。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 5$ または $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 12 = 0$

(2) $(x-2)^2 + (y-\frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$ または $x^2 + y^2 -4x -5y + 4 = 0$

(3) 円 C3 のグラフは、中心が (2, -1) で半径が $\sqrt{5}$ の円です。