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与えられた三角関数の等式を証明する問題です。具体的には、 (1) $\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha$ (2) $\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$ の2つの等式を証明します。

幾何学三角関数三角恒等式加法定理三角関数の公式
2025/8/16

1. 問題の内容

与えられた三角関数の等式を証明する問題です。具体的には、
(1) cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β=cos⁡2β−sin⁡2α\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha
(2) tan⁡α+tan⁡β=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}
の2つの等式を証明します。

2. 解き方の手順

(1)
まず、cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)を展開します。
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
したがって、
cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)
=(cos⁡αcos⁡β)2−(sin⁡αsin⁡β)2= (\cos \alpha \cos \beta)^2 - (\sin \alpha \sin \beta)^2
=cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β= \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta
次に、cos⁡2α−sin⁡2β\cos^2 \alpha - \sin^2 \betaに変形します。
cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β=cos⁡2α(1−sin⁡2β)−(1−cos⁡2α)sin⁡2β\cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \cos^2 \alpha) \sin^2 \beta
=cos⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β−sin⁡2β+cos⁡2αsin⁡2β= \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta
=cos⁡2α−sin⁡2β= \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta
最後に、cos⁡2β−sin⁡2α\cos^2 \beta - \sin^2 \alphaに変形します。
cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β=(1−sin⁡2α)cos⁡2β−sin⁡2α(1−cos⁡2β)\cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta = (1 - \sin^2 \alpha)\cos^2 \beta - \sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \beta)
=cos⁡2β−sin⁡2αcos⁡2β−sin⁡2α+sin⁡2αcos⁡2β= \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \beta
=cos⁡2β−sin⁡2α= \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha
(2)
tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tan⁡β=sin⁡βcos⁡β\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}
tan⁡α+tan⁡β=sin⁡αcos⁡α+sin⁡βcos⁡β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}
ここで、sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \betaなので、
tan⁡α+tan⁡β=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}

3. 最終的な答え

(1) cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β=cos⁡2β−sin⁡2α\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha
(2) tan⁡α+tan⁡β=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}

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