三角形ABCにおいて、$BC=10, CA=6, \angle ACB = 60^\circ$である。三角形ABCの内部に点Pを取り、三角形APCを点Cを中心に時計回りに$60^\circ$回転した三角形を三角形A'P'Cとする。このとき、以下の問いに答える。 (1) 三角形A'BCの面積を求めよ。 (2) AP+BP+CP の長さの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=10, CA=6, \angle ACB = 60^\circ$である。三角形ABCの内部に点Pを取り、三角形APCを点Cを中心に時計回りに$60^\circ$回転した三角形を三角形A'P'Cとする。このとき、以下の問いに答える。

(1) 三角形A'BCの面積を求めよ。

(2) AP+BP+CP の長さの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形A'BCの面積を求める。

点A'は点Aを点Cを中心に$60^\circ$回転させた点であるから、$CA = CA' = 6$で、$\angle ACA' = 60^\circ$。したがって、三角形ACA'は正三角形である。

三角形A'BCの面積は、$S = \frac{1}{2} A'C \cdot BC \cdot \sin{\angle A'CB}$で求めることができる。

$\angle A'CB = \angle A'CA + \angle ACB = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$

したがって、三角形A'BCの面積は、

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$

(2) AP+BP+CP の長さの最小値を求める。

点Aを点Cを中心に$60^\circ$回転させた点をA'、点Pを点Cを中心に$60^\circ$回転させた点をP'とする。このとき、$AP = A'P'$であり、$CP = CP'$である。したがって、$AP + BP + CP = A'P' + BP + CP$

$A'P' + P'C + BP$の最小値を考える。

$P'C = PC$なので、$AP+BP+CP = A'P'+PC+BP$

$A'P' + PC + BP$は、$A', P', C, P, B$が一直線上に並ぶときに最小となる。

最小値は、線分A'Bの長さである。

三角形A'BCにおいて、$A'C=6, BC=10, \angle A'CB=120^\circ$であるから、余弦定理より

$A'B^2 = A'C^2 + BC^2 - 2 A'C \cdot BC \cdot \cos{\angle A'CB} = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos{120^\circ} = 36 + 100 - 120 \cdot (-\frac{1}{2}) = 136 + 60 = 196$

$A'B = \sqrt{196} = 14$

したがって、$AP+BP+CP$の最小値は14である。

3. 最終的な答え

(1) 三角形A'BCの面積は、$15\sqrt{3}$

(2) AP+BP+CP の長さの最小値は、$14$