練習14の問題で、与えられた2つの直線がそれぞれ平行、垂直のいずれであるか判別する問題です。 (1) $y=4x+1$, $y=4x-3$ (2) $y=3x-1$, $x+3y+2=0$ (3) $2x+3y=3$, $4x+6y=5$ (4) $3x+4y=2$, $4x-3y=1$ 練習15の問題で、点A(3, -1)を通り、直線$3x+2y+1=0$に垂直な直線、平行な直線の方程式をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

練習14の問題で、与えられた2つの直線がそれぞれ平行、垂直のいずれであるか判別する問題です。

(1) $y=4x+1$, $y=4x-3$

(2) $y=3x-1$, $x+3y+2=0$

(3) $2x+3y=3$, $4x+6y=5$

(4) $3x+4y=2$, $4x-3y=1$

練習15の問題で、点A(3, -1)を通り、直線$3x+2y+1=0$に垂直な直線、平行な直線の方程式をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

練習14：

2直線が平行であるための条件は、2直線の傾きが等しいことです。

2直線が垂直であるための条件は、2直線の傾きの積が-1になることです。

与えられた直線を $y = mx + n$ の形に変形し、傾き $m$ を比較します。

(1) $y=4x+1$ と $y=4x-3$ の傾きはどちらも4なので、平行です。

(2) $y=3x-1$ と $x+3y+2=0$ を $y = mx + n$ の形に変形すると、$y=3x-1$ と $y=-\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$ となります。傾きはそれぞれ3と $-\frac{1}{3}$であり、これらの積は $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$ となるため、垂直です。

(3) $2x+3y=3$ と $4x+6y=5$ を $y = mx + n$ の形に変形すると、$y=-\frac{2}{3}x + 1$ と $y=-\frac{2}{3}x + \frac{5}{6}$ となります。傾きはどちらも $-\frac{2}{3}$ なので、平行です。

(4) $3x+4y=2$ と $4x-3y=1$ を $y = mx + n$ の形に変形すると、$y=-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$ と $y=\frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$ となります。傾きはそれぞれ $-\frac{3}{4}$ と $\frac{4}{3}$であり、これらの積は $-\frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = -1$ となるため、垂直です。

練習15：

直線 $3x + 2y + 1 = 0$ の傾きを求めます。$2y = -3x - 1$ より $y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ なので、傾きは $-\frac{3}{2}$ です。

点 (3, -1) を通り、傾き $m$ の直線の方程式は $y - (-1) = m(x - 3)$ 、すなわち $y + 1 = m(x - 3)$ で表されます。

平行な直線：傾きは $-\frac{3}{2}$ なので、

$y + 1 = -\frac{3}{2}(x - 3)$

$2(y + 1) = -3(x - 3)$

$2y + 2 = -3x + 9$

$3x + 2y - 7 = 0$

垂直な直線：傾きの積が-1になるので、傾きは $\frac{2}{3}$ です。

$y + 1 = \frac{2}{3}(x - 3)$

$3(y + 1) = 2(x - 3)$

$3y + 3 = 2x - 6$

$2x - 3y - 9 = 0$

3. 最終的な答え

練習14：

(1) 平行

(2) 垂直

(3) 平行

(4) 垂直

練習15：

平行な直線の方程式：$3x + 2y - 7 = 0$

垂直な直線の方程式：$2x - 3y - 9 = 0$