ACを直径とする半円とBCを直径とする半円があり、大きい半円の弦AQが小さい半円に点Pで接している。QC:AC = 2:9のとき、∠QACの大きさとBP:PCを求めなさい。

1. 問題の内容

ACを直径とする半円とBCを直径とする半円があり、大きい半円の弦AQが小さい半円に点Pで接している。QC:AC = 2:9のとき、∠QACの大きさとBP:PCを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) ∠QACの大きさを求める。

ACを直径とする半円の中心をOとする。OC = OAなので、∠OAC = ∠OCAとなる。

QC:AC = 2:9 より、AC:QC = 9:2。

したがって、AC = 9x、QC = 2x とおくことができる。このとき、AQ = AC - QC = 9x - 2x = 7xとなる。

∠AQCは、半円の弧ACに対する円周角なので、∠AQC = 90°である。

三角形AQCにおいて、∠QAC + ∠ACQ + ∠AQC = 180°であるから、∠QAC + ∠ACQ + 90° = 180°となる。

したがって、∠QAC + ∠ACQ = 90°である。

また、sin∠QAC = QC/AC = 2/9となる。∠QAC = θとおくと、sinθ = 2/9。

図より、∠QACは鋭角なので、0 < ∠QAC < 90°である。

しかし、sinθ = 2/9から∠QACを直接求めるのは難しい。

別の方法を考える。

OからAQに垂線を下ろし、交点をHとする。

∠QAC = θとおくと、△AHQにおいてAH = AQcosθ = 7xcosθ、HQ = AQsinθ = 7xsinθ

また、△AQCにおいて∠AQC = 90°である。

さらに別の方法を考える。

∠QAC = θとする。QC:AC = 2:9より、AC = 9k、QC = 2kとおくことができる。

∠AQC = 90°より、ACは△AQCの外接円の直径となる。

△AQCにおいて、正弦定理より、$AC/\sin{∠AQC} = QC/\sin{∠QAC}$となるから、$9k/1 = 2k/\sin{θ}$

よって、$\sin{θ} = 2k/9k = 2/9$

ここで、画像に∠BAC = 20°と書き込まれていることに気づく。

問題文に明記されていないが、図から∠BAC = 20°であると仮定する。

∠QAC = ∠BAC であると考えられるので、∠QAC = 20°である。

sin20°の値は2/9に近くないため、作図の誤差か、もしくは問題文の条件を満たさない図である可能性がある。

(2) BP:PCを求める。

点Pは円O'の円周上にある。ここで、O'はBCを直径とする円の中心である。

また、AQは点Pで円O'に接する。

∠BPC = 90°である。

∠ACB = θとおくと、∠ABC = 180°-20°-θ。

∠APO'=90°となるので、∠QPC = 90°である。

3. 最終的な答え

(1) ∠QAC = 20°

(2) 解答不能（問題文の条件が不十分である可能性が高い。）