三角形ABCに関する問題が3問あります。 (1) $\angle A = 45^\circ$, $BC = \sqrt{2}$, $CA = 1$ のとき、$\angle B$ の大きさを求めます。 (2) $BC = 7$, $CA = 5$, $AB = 8$ のとき、$\angle A$ の大きさを求めます。 (3) $AB = 3$, $CA = 2$, $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき、三角形ABCの面積を求めます。

幾何学三角形正弦定理余弦定理三角比面積
2025/8/15

1. 問題の内容

三角形ABCに関する問題が3問あります。
(1) A=45\angle A = 45^\circ, BC=2BC = \sqrt{2}, CA=1CA = 1 のとき、B\angle B の大きさを求めます。
(2) BC=7BC = 7, CA=5CA = 5, AB=8AB = 8 のとき、A\angle A の大きさを求めます。
(3) AB=3AB = 3, CA=2CA = 2, cosA=13\cos A = \frac{1}{3} のとき、三角形ABCの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を利用します。
BCsinA=CAsinB\frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B}
2sin45=1sinB\frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{1}{\sin B}
212=1sinB\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sin B}
2=1sinB2 = \frac{1}{\sin B}
sinB=12\sin B = \frac{1}{2}
B=30,150\angle B = 30^\circ, 150^\circ
もしB=150\angle B = 150^\circだとすると、A+B=45+150=195>180\angle A + \angle B = 45^\circ + 150^\circ = 195^\circ > 180^\circとなり、三角形の内角の和が180度を超えるため不適。
したがって、B=30\angle B = 30^\circ
(2) 余弦定理を利用します。
BC2=AB2+CA22ABCAcosABC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A
72=82+52285cosA7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cos A
49=64+2580cosA49 = 64 + 25 - 80 \cos A
49=8980cosA49 = 89 - 80 \cos A
80cosA=4080 \cos A = 40
cosA=12\cos A = \frac{1}{2}
A=60\angle A = 60^\circ
(3) 三角形の面積の公式を利用します。
S=12ABCAsinAS = \frac{1}{2} AB \cdot CA \sin A
sin2A+cos2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1 より、
sin2A=1cos2A=1(13)2=119=89\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
sinA=89=223\sin A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} (∵ sinA>0\sin A > 0)
S=1232223=22S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}

3. 最終的な答え

(1) B=30\angle B = 30^\circ
(2) A=60\angle A = 60^\circ
(3) 222\sqrt{2}

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