点 $O(0, 0)$ と点 $A(0, 1)$ が与えられているとき、$AP^2 = OP^2 + 3$ を満たす点 $P$ の軌跡を求める。

幾何学軌跡座標平面距離
2025/8/16

1. 問題の内容

O(0,0)O(0, 0) と点 A(0,1)A(0, 1) が与えられているとき、AP2=OP2+3AP^2 = OP^2 + 3 を満たす点 PP の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

PP の座標を (x,y)(x, y) とする。
AP2=(x0)2+(y1)2=x2+(y1)2=x2+y22y+1AP^2 = (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1
OP2=(x0)2+(y0)2=x2+y2OP^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2
与えられた条件 AP2=OP2+3AP^2 = OP^2 + 3 に代入すると、
x2+y22y+1=x2+y2+3x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 3
両辺から x2+y2x^2 + y^2 を引くと、
2y+1=3-2y + 1 = 3
2y=2-2y = 2
y=1y = -1

3. 最終的な答え

PP の軌跡は直線 y=1y = -1 である。

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