図において、$AB = 9$ cm、$BC = 12$ cm、$CD = DA = 6$ cmである。以下の3つの問題を解く。 (1) $BE:ED$ を求める。 (2) $\triangle ABE$ と $\triangle DBC$ の面積の比を求める。 (3) 線分 $DE$ の長さを求める。

1. 問題の内容

図において、$AB = 9$ cm、$BC = 12$ cm、$CD = DA = 6$ cmである。以下の3つの問題を解く。

(1) $BE:ED$ を求める。

(2) $\triangle ABE$ と $\triangle DBC$ の面積の比を求める。

(3) 線分 $DE$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $BE:ED$ を求める。

まず、$\angle ABE = \angle CDE$ および $\angle BAE = \angle DCE$ であるから、$\triangle ABE \sim \triangle CDE$ である。

したがって、$BE:ED = AB:CD = 9:6 = 3:2$となる。

(2) $\triangle ABE$ と $\triangle DBC$ の面積の比を求める。

$\triangle ABE \sim \triangle CDE$ であり、$AB:CD = 3:2$ である。

$\triangle DBC$ において、$BD$ を引くと、$\triangle DBC$ は $\triangle DEC$ と $\triangle BEC$ に分割できる。

$\triangle ABE$ と $\triangle CDE$ の相似比が $3:2$ であるから、$AE:CE = 3:2$ である。

したがって、$\triangle ABE:\triangle CDE = 3^2:2^2 = 9:4$となる。

$\triangle ABE$ と $\triangle DBC$ の面積比を求めるには、$AB/BC$ と関係付ける。

$\angle BAC=\angle BDC$ であり、$\angle ABC=\angle ADC$ である。また$\angle ADB = \angle ACB$ , $\angle CAD = \angle CBD$ となる。

$\angle BAE = \angle BCE$なので、$\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積比は$AB^2 : BC^2 = 9^2 : 12^2 = 81:144 = 9:16$となる。

(3) 線分 $DE$ の長さを求める。

$BE:ED = 3:2$ である。

$\triangle ABE \sim \triangle CDE$ であるから、$AB:CD = BE:DE = AE:CE = 9:6 = 3:2$

また、$AE:CE = 3:2$ である。

線分$DE$の長さを求めるには、$CD=6$ であることを利用する。$\angle CAD = \angle CBD$ であるから。

3. 最終的な答え

(1) $BE:ED = 3:2$

(2) $\triangle ABE : \triangle DBC = 9:16$

(3) 線分 $DE$ の長さは $x$ とおくと、まず$AE$の長さを知る必要がある。

　　$AE$を$x$とする。$AE=x$とおく。$\frac{BE}{DE}=\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CD}=\frac{3}{2}$なので、

　$\frac{AE}{CE}=\frac{3}{2}$である。$\frac{x}{CE}=\frac{3}{2}$なので、$CE = \frac{2x}{3}$

$DE$ の長さを $y$ とおくと、

$\frac{BE}{DE} = \frac{3}{2}$なので、$BE = \frac{3}{2}y$。

余弦定理を $\triangle ABD$ に適用すると、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$。

余弦定理を $\triangle BCD$ に適用すると、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$。

$DE$ の長さは、相似な三角形の比を用いて、 $CE$ など他の長さを知ることで求めることができる。

最終的な答えは以下の通りです。

(1) $BE:ED = 3:2$

(2) $\triangle ABE : \triangle DBC = 9:16$

(3) 線分 $DE$ の長さ (求められず)