三角形ABCにおいて、$AB=2, BC=4, CA=2\sqrt{2}$が与えられている。このとき、$\cos A$の値と三角形ABCの面積を求める問題である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=2, BC=4, CA=2\sqrt{2}$が与えられている。このとき、$\cos A$の値と三角形ABCの面積を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$\cos A$を求める。余弦定理は、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$である。

ここに与えられた値を代入すると、

$4^2 = 2^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos A$

$16 = 4 + 8 - 8\sqrt{2} \cos A$

$4 = -8\sqrt{2} \cos A$

$\cos A = -\frac{4}{8\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

次に、三角形の面積を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$\sin A = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ （$0 < A < \pi$なので、$\sin A > 0$）

三角形の面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin A$で求められる。

面積$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{4\sqrt{28}}{8} = \frac{\sqrt{28}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

三角形ABCの面積は$\sqrt{7}$