右図において、$AC = 4$, $BC = 8$, $EC = 3$ である。 (1) $CF:FD$ を求めよ。 (2) $\triangle CFE$ : $\triangle ABC$ を求めよ。

1. 問題の内容

右図において、$AC = 4$, $BC = 8$, $EC = 3$ である。

(1) $CF:FD$ を求めよ。

(2) $\triangle CFE$ : $\triangle ABC$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、BEの長さを求めます。$BC = 8$, $EC = 3$ より $BE = BC - EC = 8 - 3 = 5$ です。

角の二等分線の性質より、$AF:FB = AC:BC = 4:8 = 1:2$ が成り立ちます。

メネラウスの定理を$\triangle BCD$ と直線 AE に適用すると

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FD} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$

$\frac{5}{3} \cdot \frac{CF}{FD} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$

$\frac{CF}{FD} = \frac{3}{5} \cdot \frac{AB}{DA}$

ここで、 $AD : DB = AF : FB = 1:2$より、 $AD:AB = 1:3$であるから、$AB:AD = 3:1$ が成り立ちます。

よって、$\frac{AB}{DA} = 3$

$\frac{CF}{FD} = \frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{9}{5}$

したがって、$CF:FD = 9:5$

(2)

$\triangle ABC$と$\triangle CFE$において、

$\angle ACB = \angle FCE$ (共通)

$AC:BC = 4:8 = 1:2$

$EC:AC = 3:4$

$\triangle CFE$の面積をSとすると、

$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin{\angle ACB}$

$\triangle CFE$の面積は、$\frac{1}{2} \cdot CE \cdot AC \cdot \sin{\angle ACB}$

$\triangle CFE = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot AC \cdot \sin{\angle ACB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin{\angle ACB} = 6 \sin{\angle ACB}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin{\angle ACB} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin{\angle ACB} = 16 \sin{\angle ACB}$

$\triangle CFE : \triangle ABC = 6 \sin{\angle ACB} : 16 \sin{\angle ACB} = 6:16 = 3:8$

3. 最終的な答え

(1) $CF:FD = 9:5$

(2) $\triangle CFE : \triangle ABC = 3:8$