$\frac{\sin A}{2} = \frac{\sin B}{2} = \frac{\sin C}{1}$ が成り立つとき、$\cos C$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sin A}{2} = \frac{\sin B}{2} = \frac{\sin C}{1}$ が成り立つとき、$\cos C$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立ちます。

与えられた条件より、$\sin A : \sin B : \sin C = 2:2:1$ です。

したがって、$a:b:c = 2:2:1$ となります。

$a = 2k, b = 2k, c = k$ とおけます（$k>0$）。

余弦定理より、

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\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

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それぞれの値を代入すると

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\cos C = \frac{(2k)^2 + (2k)^2 - k^2}{2(2k)(2k)} = \frac{4k^2 + 4k^2 - k^2}{8k^2} = \frac{7k^2}{8k^2} = \frac{7}{8}

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3. 最終的な答え

$\cos C = \frac{7}{8}$