三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=6$, $0^\circ < \angle ABC < 90^\circ$, 面積が$6\sqrt{6}$である。$\sin \angle ABC$と$CA$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=6$, $0^\circ < \angle ABC < 90^\circ$, 面積が$6\sqrt{6}$である。$\sin \angle ABC$と$CA$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の面積の公式を利用して$\sin \angle ABC$を求める。三角形の面積は、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$で表される。この問題では、

$S = 6\sqrt{6}$

$a = AB = 5$

$b = BC = 6$

$C = \angle ABC$

なので、

$6\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin \angle ABC$

$6\sqrt{6} = 15 \sin \angle ABC$

$\sin \angle ABC = \frac{6\sqrt{6}}{15} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

次に、余弦定理を用いて$CA$を求める。余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$で表される。

$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$ より、

$\cos^2 \angle ABC = 1 - \sin^2 \angle ABC = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$

$0^\circ < \angle ABC < 90^\circ$なので、$\cos \angle ABC > 0$。よって、

$\cos \angle ABC = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$CA^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{1}{5} = 25 + 36 - 12 = 49$

$CA = \sqrt{49} = 7$

3. 最終的な答え

$\sin \angle ABC = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$CA = 7$