三角形ABCにおいて、AB=4, BC=√7, CA=√3 であるとき、cos∠BACの値と三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4, BC=√7, CA=√3 であるとき、cos∠BACの値と三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いてcos∠BACの値を求める。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cdot cos∠BAC$ が成り立つ。

与えられた値を代入すると、$(\sqrt{7})^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot cos∠BAC$となる。

これを整理すると、$7 = 16 + 3 - 8\sqrt{3} \cdot cos∠BAC$。

$8\sqrt{3} \cdot cos∠BAC = 12$となる。

よって、$cos∠BAC = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$である。

次に、三角形ABCの面積を求める。

$sin^2∠BAC + cos^2∠BAC = 1$より、$sin^2∠BAC = 1 - cos^2∠BAC = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$。

したがって、$sin∠BAC = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ （$sin∠BAC > 0$より）。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot sin∠BAC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$である。

3. 最終的な答え

cos∠BAC = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

三角形ABCの面積 = $\sqrt{3}$