円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=9cm$, $BC=12cm$, $CD=DA=6cm$である。 (1) 線分BEとEDの長さの比を求めよ。 (2) $\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積の比を求めよ。 (3) 線分DEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=9cm$, $BC=12cm$, $CD=DA=6cm$である。

(1) 線分BEとEDの長さの比を求めよ。

(2) $\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積の比を求めよ。

(3) 線分DEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BE:EDを求める。

$\angle BAC = \angle BDC$ (円周角の定理)

$\angle BCA = \angle BDA$ (円周角の定理)

$\triangle ABE$と$\triangle DCE$において

$\angle BAE = \angle CDE$ (円周角の定理)

$\angle ABE = \angle DCE$ (円周角の定理)

よって、$\triangle ABE \sim \triangle DCE$である。

したがって、$BE:CE = AB:CD = 9:6 = 3:2$

同様に、$AE:DE = AB:CD = 9:6 = 3:2$

また、$\triangle BCE$と$\triangle ADE$において

$\angle EBC = \angle EDA$ (円周角の定理)

$\angle BCE = \angle DAE$ (円周角の定理)

よって、$\triangle BCE \sim \triangle ADE$である。

$CE:AE = BC:AD = 12:6 = 2:1$

$AE = DE \times \frac{3}{2}$

$CE : DE \times \frac{3}{2} = 12 : 6 = 2:1$

$CE : \frac{3}{2} DE= 2:1$

$CE=2DE \frac{3}{2} =\frac{3}{2} DE$

$\frac{BE}{DE}=\frac{3}{2}$

$BE:DE=3:2$

(2) $\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積の比を求める。

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ より、面積比は$(AB:CD)^2 = (9:6)^2 = (3:2)^2 = 9:4$

$\triangle DBC \sim \triangle DAE$

$\angle BAC = \angle BDC$

$\angle ABD = \angle ACD$

$\triangle ABE$と$\triangle DBC$において

$\angle ABE = \angle DBC$

$\angle BAE = \angle BDC$より$\triangle ABE \sim \triangle DBC$

相似比は$AB:DB = 9 : DB$

$BD$の長さを求める。

$\cos B = \frac{9^2 + 12^2 - AC^2}{2 \times 9 \times 12} = \frac{81 + 144 - AC^2}{216}$

$\cos D = \frac{6^2 + 6^2 - AC^2}{2 \times 6 \times 6} = \frac{72 - AC^2}{72}$

$B + D = 180^\circ$ なので、$\cos B = - \cos D$

$\frac{225 - AC^2}{216} = - \frac{72 - AC^2}{72}$

$\frac{225 - AC^2}{3} = - (72 - AC^2)$

$225 - AC^2 = -216 + 3AC^2$

$4AC^2 = 441$

$AC^2 = \frac{441}{4}$

$AC = \frac{21}{2}$

$\cos B = \frac{225 - \frac{441}{4}}{216} = \frac{\frac{900 - 441}{4}}{216} = \frac{459}{4 \times 216} = \frac{459}{864} = \frac{17}{32}$

$BD^2 = 9^2 + 12^2 - 2 \times 9 \times 12 \times \frac{17}{32} = 81 + 144 - 216 \times \frac{17}{32} = 225 - \frac{27 \times 17}{4} = 225 - \frac{459}{4} = \frac{900 - 459}{4} = \frac{441}{4}$

$BD = \frac{21}{2}$

相似比は $9 : \frac{21}{2} = 18 : 21 = 6:7$

面積比は $6^2 : 7^2 = 36:49$

(3) 線分DEの長さを求める。

$AE:CE=3:2$

$AE:DE = 3:2$

$AE= \frac{3}{2} DE$

$CE= \frac{2}{3} AE$

$CE:AE = 2:3$

$AD:BC = 6:12=1:2$

$\frac{DE}{BE}=\frac{2}{3}$

$AD=6cm$

$DE:AE = 2:3$

$CD:AB = 6:9 = 2:3$

$DA:BC = 6:12 = 1:2$

3. 最終的な答え

(1) BE:ED = 3:2

(2) $\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積の比 = 36:49

(3) 線分DEの長さは求められません。