与えられた正八角形において、$\angle AIH$の大きさを求める問題です。点Iは線分ADと線分AHの交点です。線分AD、AHが図に示されています。

1. 問題の内容

与えられた正八角形において、$\angle AIH$の大きさを求める問題です。点Iは線分ADと線分AHの交点です。線分AD、AHが図に示されています。

2. 解き方の手順

正八角形の内角の和は、$(8-2) \times 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ$です。

正八角形の1つの内角は、$\frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ$です。

$\angle DAB = \angle HAB = 135^\circ$ です。

$\triangle HAB$に着目すると、$HA=AB$より、 $\triangle HAB$は二等辺三角形。

$\angle AHB = \angle ABH = \frac{180^\circ - 135^\circ}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$

$\angle BAD = 135^\circ$ です。

正八角形であることから、$AB=BC=CD$です。

$\triangle ABC$および$\triangle BCD$も二等辺三角形なので、$\angle BAC = \angle BCA = \angle CBD = \angle CDB = \frac{180^\circ - 135^\circ}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$

したがって、$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 135^\circ - 22.5^\circ = 112.5^\circ$

また、$\angle HAI = 90^\circ$ であるので、$\triangle AIH$ において $\angle AIH$ を求める。

$\angle AHI = 22.5^\circ$

$\angle IAH = 90^\circ$ (図より)

$\angle AIH = 180^\circ - (90^\circ + 22.5^\circ) = 180^\circ - 112.5^\circ = 67.5^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle AIH = 67.5^\circ$