AC, BC を直径とする2つの半円があり、大きい半円の弦AQは小さい半円に点Pで接している。$QC:AC = 2:9$ のとき、(1) $\angle QAC$ の大きさを求めなさい。 (2) 弧 $BP$：弧 $PC$ を求めなさい。

1. 問題の内容

AC, BC を直径とする2つの半円があり、大きい半円の弦AQは小さい半円に点Pで接している。$QC:AC = 2:9$ のとき、(1) $\angle QAC$ の大きさを求めなさい。 (2) 弧 $BP$：弧 $PC$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

$\angle QAC$ を求める。

$QC:AC = 2:9$である。

円周角の定理より、弧の長さの比は、円周角の比に等しい。

$\angle AQC$ は弧ACに対する円周角、$\angle QAC$ は弧QCに対する円周角である。

$\angle AQC$ は、直径BCに対する円周角なので、$\angle AQC = 90^\circ$ である。

$\angle QAC : \angle AQC = QC:AC = 2:9$なので、$\angle QAC = x$ とすると、

$x:90 = 2:9$

$9x = 180$

$x = 20$

よって、$\angle QAC = 20^\circ$ である。

(2)

弧 $BP$：弧 $PC$ を求める。

$\angle BPC = 90^\circ$ （半円に対する円周角）である。

点Pは小さい半円の円周上の点であり、AQは点Pで小さい半円に接しているので、

$\angle CPA = \angle CBP$である。

$\angle BAC = \angle BPC - \angle CPA$

$\angle CPA = 90 - \angle CBP$

円周角の定理より$\angle QAC = \angle CBP = 20^\circ$である。

$\angle BCA = 90-\angle BAC$である。

$\angle BCP = \angle BCA$

$\angle CBP = \angle QAC = 20^\circ$

$\angle BPC = 90^\circ$

$\angle PCB = 90^\circ - \angle PBC= 90^\circ-20^\circ =70^\circ$

$\angle CBP = 20^\circ$

$\angle BCP = 70^\circ$

円周角の定理より

弧BP : 弧PC = $\angle BCP$ : $\angle CBP$ = 70:20 = 7:2

3. 最終的な答え

(1) $\angle QAC = 20^\circ$

(2) 弧 $BP$：弧 $PC$ = 7:2