右の図のように、AC、BCを直径とする2つの半円において、大きい半円の弦AQは小さい半円に点Pで接している。弧QC:弧AC = 2:9のとき、以下の問いに答える。 (1) ∠QACの大きさを求めなさい。 (2) 弧BP:弧PCを求めなさい。

1. 問題の内容

右の図のように、AC、BCを直径とする2つの半円において、大きい半円の弦AQは小さい半円に点Pで接している。弧QC:弧AC = 2:9のとき、以下の問いに答える。

(1) ∠QACの大きさを求めなさい。

(2) 弧BP:弧PCを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

弧QC:弧AC = 2:9なので、弧QCに対応する中心角は、円周角∠QACの2倍である。弧ACに対する中心角は180度なので、弧QCに対する中心角は $180 * (2/9)$ となる。

弧QCに対応する中心角を計算すると、

$180 * (2/9) = 40$ 度

∠QACは弧QCに対する円周角なので、中心角の半分となる。

$40 / 2 = 20$ 度

(2)

∠BAP = 55度であり、∠CAP = ∠QAC = 20度である。

∠BAC = ∠BAP + ∠CAP = 55 + 20 = 75度

∠ABC = 180 - 75 - 35 = 70度

∠PBC = ∠ABC - ∠ABP = 70 - 55 = 15度

中心角と弧の長さは比例するので、

弧BP:弧PC = ∠BCP:∠ABP = 55:35 = 11:7

3. 最終的な答え

(1) ∠QAC = 20度

(2) 弧BP:弧PC = 7:11