円に内接する五角形ABCDEがあり、円の中心をOとする。 $∠E = 67°$、$∠ABC = 67°$、$∠BAD = x$、$∠BCD = x$であるとき、$x$の値を求めよ。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

円に内接する五角形ABCDEがあり、円の中心をOとする。

$∠E = 67°$、$∠ABC = 67°$、$∠BAD = x$、$∠BCD = x$であるとき、$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、弧ADに対する円周角は等しいので、$∠AED = ∠ACD$。

* 同様に、弧BCに対する円周角は等しいので、$∠BAC = ∠BDC$。

* 五角形ABCDEの内角の和は、$(5-2) \times 180° = 540°$。

* したがって、$∠E + ∠ABC + ∠BCD + ∠BAD + ∠CDE = 540°$。

* $∠CDE = ∠CDB + ∠BDE$であり、$∠CDB = ∠CAB = x$。また、$∠BDE = ∠BAE$。

* $∠BAE + ∠EAD + ∠BAD = 180 - 67 - x$

* ここで、$∠AED = ∠ACD = z$とする。

* $∠BAD = ∠BAE + ∠EAD = x$とすると、円周角の定理より、$∠BAD = z$

* $∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 67°$なので、$∠ABD + z = 67°$

* ここで、円周角の定理より、$∠BAE = ∠BDE = 23$

* $67 + 67 + x + x + ∠CDE = 540$

* $∠CDE = 540 - 67 - 67 - x - x = 406 - 2x$

* $∠CDE = ∠CDB + ∠BDE$ より、$406 - 2x = x + 23$

* $406 - 23 = 3x$

* $383 = 3x$

* $x = 383 / 3 = 127.666$

* したがって、$∠BAC = ∠BDC = y$とする

* ここで、$∠E = 67°$なので、$∠EAD = 23°$

* $∠EAD = ∠EBD$なので、$∠EBD = 23°$

* 三角形BCDについて、$∠DBC = z$なので、$∠BCD = x$、$∠DBC + ∠BCD + ∠BDC = 180$より、$z + x + z = 180$

* $∠ABD = 67 - z$なので、$∠ABC = 67°$より

* したがって、$23 + x = x$

* $∠BAC = ∠BDC = z$

* $∠E = 67°$なので、$1/2AD = 180-67*2= 46°$

* $x = 23$

3. 最終的な答え

23