円周上に点A, B, C, D, Eがあり、線分ADは円の中心Oを通る。 $\angle E = 67^\circ$, $\angle EAD = 23^\circ$のとき、$\angle C$を$x$とすると、$x$の値を求めよ。また、$\angle OAB=x$とする。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, D, Eがあり、線分ADは円の中心Oを通る。

$\angle E = 67^\circ$, $\angle EAD = 23^\circ$のとき、$\angle C$を$x$とすると、$x$の値を求めよ。また、$\angle OAB=x$とする。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AED$ が 67 度であることから、円周角の定理を用いて $\angle ABD$ を求めます。$\angle ABD = \angle AED = 67^\circ$です。

次に、$\angle OAB$ を求めます。$\triangle AOE$に着目すると、$AO=EO$なので、$\triangle AOE$は二等辺三角形。よって、$\angle OAE = \angle OEA = 23^\circ$。

$\angle BAD = \angle BAO + \angle OAE = \angle BAO + 23^\circ$。

また、$\angle BAD + \angle BDA = 90^\circ$となる。なぜなら、$\angle ABD=67^{\circ}$より$\angle ADB = 180^{\circ} - (67^{\circ} + 90^{\circ})$ であり、$\angle BDA=23^{\circ}$。

$\angle ABD = 67^{\circ}$なので、$\angle BAO = x$ とすると、$\angle BAO + 23^\circ = 67^\circ$

$\angle OAB$ は $x$ なので、

$x + 23^\circ = 67^\circ$から $x = 67^\circ - 23^\circ = 44^\circ$となります。

$\angle BAO = 44^{\circ}$

$\angle AOC = 2\angle ABC$ (中心角と円周角の関係)

$\angle OAB = x$ であり、$OA=OB$なので $\triangle OAB$ は二等辺三角形となり、$\angle OBA = x$。

$\angle AOB = 180^\circ - 2x$

$\angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2x) = 2x$

$\angle BAC = 23^\circ$

$\angle ABC = 67^\circ$

$\angle BCA = x$

$\angle BAC = \angle BDC$ (円周角の定理)

$\angle BDC = 23^\circ$

$\triangle DBC$ において、

$\angle DBC + \angle BCD + \angle CDB = 180^\circ$

$67^{\circ} + x + 23^{\circ} = 180^{\circ}$

$x + 90^{\circ} = 180^{\circ}$

$x = 90^{\circ}$

3. 最終的な答え

x = 23 度