以下の2次曲線の方程式を求める問題です。 (1) 焦点が点(2,0)、準線が直線$x = -3$である放物線の方程式 (2) 2点(2,0), (-2,0)を焦点とし、この2点からの距離の和が6である楕円の方程式 (3) 2点(0,4), (0,-4)を焦点とし、漸近線が直線$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$である双曲線の方程式

1. 問題の内容

以下の2次曲線の方程式を求める問題です。

(1) 焦点が点(2,0)、準線が直線$x = -3$である放物線の方程式

(2) 2点(2,0), (-2,0)を焦点とし、この2点からの距離の和が6である楕円の方程式

(3) 2点(0,4), (0,-4)を焦点とし、漸近線が直線$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$である双曲線の方程式

2. 解き方の手順

(1) 放物線の定義より、焦点からの距離と準線からの距離が等しい。放物線上の点を$(x, y)$とすると、

$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = |x+3|$

両辺を2乗して、

$(x-2)^2 + y^2 = (x+3)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 6x + 9$

$y^2 = 10x + 5$

(2) 楕円の焦点は$(2,0)$と$(-2,0)$なので、中心は原点。

焦点間の距離は4なので、$c = 2$。

2点からの距離の和が6なので、$2a = 6$より、$a = 3$。

$a^2 = b^2 + c^2$の関係より、$9 = b^2 + 4$なので、$b^2 = 5$。

よって、楕円の方程式は$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$。

(3) 双曲線の焦点は$(0,4)$と$(0,-4)$なので、中心は原点。

焦点間の距離は8なので、$c = 4$。

漸近線が$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$なので、$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$より、$b = a\sqrt{3}$。

$c^2 = a^2 + b^2$の関係より、$16 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$なので、$a^2 = 4$、$a = 2$。

$b^2 = 3a^2 = 12$。

焦点がy軸上にあるので、双曲線の方程式は$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$。

よって、双曲線の方程式は$\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $y^2 = 10x + 5$

(2) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$

(3) $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$