定点A($\vec{a}$)と任意の点P($\vec{p}$)に対して、次のベクトル方程式が表す円の中心の位置ベクトルと半径を求める。 (1) $|\vec{p} - 2\vec{a}| = 1$ (2) $|3\vec{p} - \vec{a}| = 6$

1. 問題の内容

定点A($\vec{a}$)と任意の点P($\vec{p}$)に対して、次のベクトル方程式が表す円の中心の位置ベクトルと半径を求める。

(1) $|\vec{p} - 2\vec{a}| = 1$

(2) $|3\vec{p} - \vec{a}| = 6$

2. 解き方の手順

(1)

$|\vec{p} - 2\vec{a}| = 1$ は、点Pと点2Aとの距離が1であることを意味する。

したがって、この円の中心の位置ベクトルは $2\vec{a}$ であり、半径は1である。

(2)

$|3\vec{p} - \vec{a}| = 6$ の両辺を3で割る。

$|\vec{p} - \frac{1}{3}\vec{a}| = 2$

これは、点Pと点($\frac{1}{3}$A)との距離が2であることを意味する。

したがって、この円の中心の位置ベクトルは $\frac{1}{3}\vec{a}$ であり、半径は2である。

3. 最終的な答え

(1) 中心の位置ベクトル: $2\vec{a}$ 、半径: 1

(2) 中心の位置ベクトル: $\frac{1}{3}\vec{a}$ 、半径: 2