与えられた立体 $S$ (おそらく立方体または直方体) の体積が、3点 $P, E, G$ を通る平面によって2等分されるとき、$x$ の値を求めよ。ここで、$P$ は線分 $AE$ 上の点であり、$AE = 1$ であり、$AP=x$ であると考えられる。

1. 問題の内容

与えられた立体 $S$ (おそらく立方体または直方体) の体積が、3点 $P, E, G$ を通る平面によって2等分されるとき、$x$ の値を求めよ。ここで、$P$ は線分 $AE$ 上の点であり、$AE = 1$ であり、$AP=x$ であると考えられる。

2. 解き方の手順

まず、立方体（または直方体）の体積を $V$ とします。平面 $PEG$ によって2等分されるので、立体 $AEHG$ から平面 $PEG$ で切り取られる立体の体積は $V/2$ である必要があります。

立方体の1辺の長さを $a$ とすると、$AE=a=1$ なので、$a=1$です。したがって、立方体の体積 $V$ は $V = a^3 = 1^3 = 1$ です。平面 $PEG$ によって分割された立体の体積は $V/2 = 1/2$ となります。

ここで、四面体 $AEPG$ の体積を計算します。

四面体 $AEPG$ の体積は、底面を三角形 $AEG$ と考えると、$1/3 \times (\text{三角形}AEG \text{の面積}) \times (\text{高さ})$で求められます。

三角形 $AEG$ は、$AE=1, EG=\sqrt{2}, AG=\sqrt{2}$の二等辺三角形です。三角形 $AEG$ の面積は $\frac{1}{2} \times AE \times EG = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$です。

すると四面体$PEBG$の体積は、$V_{PEBG}=\frac{1}{6}(1-x)*1*1 = \frac{1}{6}(1-x)$

$AD=1$より、$PD=1-x$であるから、四面体$DPEG$の体積は、$V_{DPEG} = \frac{1}{3}*(底面積*高さ) = \frac{1}{3}*\frac{1}{2}*1*1*x = \frac{1}{6}x$

よって、四角錐$EADG$ = $V = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} * 1 * 1) = \frac{1}{6}$

立体PEGの体積は$V_ {APEG}$ + $V_ {DPEG}$ + $V_ {CBFG}$ + $V_ {AHDE} = V/2$

$\frac{1}{6} x$ +$\frac{1}{6}(1-x) + 0 + 0$

これは正しくないです。

より良い解法：

平面$PEG$で切断された小さい方の立体の体積は、立方体の体積の半分なので、1/2である。切断された立体の体積は、立方体から四面体$ADPE$、四面体$CBFG$を引いたものである。

平面$PEG$は立方体を半分にするので、切断面は立方体の中心を通る。立方体の中心は点$O$である。

$\frac{AE +CG}{2} = \frac{1}{2} => \frac{x+(1-x)}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 1/2$