(3) $AB=8$, $BC=6$, $CA=10$ である三角形 $ABC$ に内接する円の面積を求める問題です。 (4) $n$ は自然数とする。$n^2 - 18n + 72$ が素数になるような $n$ は全部で何個あるか求める問題です。

1. 問題の内容

(3) $AB=8$, $BC=6$, $CA=10$ である三角形 $ABC$ に内接する円の面積を求める問題です。

(4) $n$ は自然数とする。$n^2 - 18n + 72$ が素数になるような $n$ は全部で何個あるか求める問題です。

2. 解き方の手順

(3)

まず、三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$ とします。

三角形 $ABC$ の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} (AB \times BC)$ で計算できます。

なぜなら $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$ なので、三角形 $ABC$ は直角三角形です。$AB$ と $BC$ が直角をなす辺なので面積は $\frac{1}{2} AB \times BC$で計算できます。

$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$

また、三角形 $ABC$ の周の長さを $L$ とすると、$L = AB + BC + CA = 8 + 6 + 10 = 24$ です。

内接円の半径 $r$ は、$S = \frac{1}{2} r L$ で計算できます。

$24 = \frac{1}{2} r \times 24$

$r = 2$

内接円の面積は $\pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$

(4)

$n^2 - 18n + 72$ を因数分解します。

$n^2 - 18n + 72 = (n-6)(n-12)$

これが素数になるのは、$n-6=1$ または $n-12 = 1$ の場合です。

$n-6=1$ のとき、$n=7$ であり、 $(n-6)(n-12) = 1 \times (7-12) = 1 \times (-5) = -5$ となります。

$-5$は素数ではないので、$n=7$ は条件を満たしません。

また、$n-6 = -1$ のとき、$n=5$ であり、 $(n-6)(n-12) = -1 \times (5-12) = -1 \times (-7) = 7$ となり、素数となります。

$n-12=1$ のとき、$n=13$ であり、 $(n-6)(n-12) = (13-6) \times 1 = 7 \times 1 = 7$ となり、素数となります。

$n-12=-1$ のとき、$n=11$ であり、 $(n-6)(n-12) = (11-6) \times (-1) = 5 \times (-1) = -5$ となり、素数ではありません。

さらに、 $n-6$と$n-12$のどちらかが1または-1になる場合以外に素数になる場合を考えます。

$(n-6)(n-12) = p$ （$p$は素数）となるためには、$(n-6)$ または $(n-12)$ のどちらかが $1$ または $-1$ である必要があります。

もしそうでないとすると、$(n-6)(n-12)$ は 2 つの $1$ より大きい整数の積になるため、素数にはなりえません。

したがって、$n=5, 13$ の場合のみ素数となります。

$n$ は自然数なので、$n=5$ および $n=13$ が解です。

3. 最終的な答え

(3) $4\pi$

(4) 2