長方形ABCDにおいて、AB = 8cm, BC = 24cmである。点PはAからBへ毎秒1cmで、点QはBからCへ毎秒3cmで移動する。PとQが同時に出発して、三角形PBQの面積が18cm^2になるのは何秒後か。

幾何学長方形三角形面積二次方程式移動
2025/8/15

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB = 8cm, BC = 24cmである。点PはAからBへ毎秒1cmで、点QはBからCへ毎秒3cmで移動する。PとQが同時に出発して、三角形PBQの面積が18cm^2になるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

出発してからの時間をtt秒とする。
すると、AP = tt cm, BQ = 3t3t cmとなる。
したがって、PB = AB - AP = 8t8-t cmとなる。
三角形PBQの面積は、12×PB×BQ=12×(8t)×3t\frac{1}{2} \times PB \times BQ = \frac{1}{2} \times (8-t) \times 3tで表される。
この面積が18cm^2になる時を求めるので、
12×(8t)×3t=18\frac{1}{2} \times (8-t) \times 3t = 18
(8t)×3t=36(8-t) \times 3t = 36
24t3t2=3624t - 3t^2 = 36
3t224t+36=03t^2 - 24t + 36 = 0
t28t+12=0t^2 - 8t + 12 = 0
(t2)(t6)=0(t-2)(t-6) = 0
t=2t = 2またはt=6t = 6
ここで、点PはAからBまで移動するので、0t80 \leq t \leq 8
また、点QはBからCまで移動するので、03t240 \leq 3t \leq 24。つまり、0t80 \leq t \leq 8
したがって、t=2t=2t=6t=6はどちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

2秒後と6秒後

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