直線 $l: (1-k)x + (1+k)y + 2k - 14 = 0$ が定数 $k$ の値によらず通る定点 A の座標を求める。(1) 原点 O と 2 点 A, B を頂点とする $\triangle OAB$ が正三角形となるとき、正三角形 OAB の外接円の中心の座標を求める。(2) 直線 $l$ と円 $C: x^2 + y^2 = 16$ の 2 つの交点を通る円のうちで、2 点 P(-4, 0), Q(2, 0) を通る円の方程式を求める。(3)

1. 問題の内容

直線 $l: (1-k)x + (1+k)y + 2k - 14 = 0$ が定数 $k$ の値によらず通る定点 A の座標を求める。(1)

原点 O と 2 点 A, B を頂点とする $\triangle OAB$ が正三角形となるとき、正三角形 OAB の外接円の中心の座標を求める。(2)

直線 $l$ と円 $C: x^2 + y^2 = 16$ の 2 つの交点を通る円のうちで、2 点 P(-4, 0), Q(2, 0) を通る円の方程式を求める。(3)

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式を $k$ について整理すると、

$(x + y + 2)k + (x - y + 14) = 0$

この式が任意の $k$ について成り立つためには、

$x + y + 2 = 0$

$x - y - 14 = 0$

この連立方程式を解くと、

$2x - 12 = 0 \implies x = 6$

$y = x - 14 = 6 - 14 = -8$

よって、定点 A の座標は (6, -8) である。

(2) $\triangle OAB$ が正三角形なので、外接円の中心は重心と一致する。

A(6, -8), O(0, 0) なので、B(x, y) とすると、重心は

$G(\frac{x + 6 + 0}{3}, \frac{y - 8 + 0}{3})$ となる。

$\triangle OAB$ が正三角形なので、OA = OB = AB となる。

$OA^2 = 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$

$OB^2 = x^2 + y^2 = 100$

$AB^2 = (x-6)^2 + (y+8)^2 = 100$

$x^2 - 12x + 36 + y^2 + 16y + 64 = 100$

$x^2 + y^2 - 12x + 16y = 0$

$100 - 12x + 16y = 0 \implies 3x - 4y = 25$

また、$x^2 + y^2 = 100$ なので、$x = \frac{25 + 4y}{3}$ を代入すると

$(\frac{25 + 4y}{3})^2 + y^2 = 100$

$(25 + 4y)^2 + 9y^2 = 900$

$625 + 200y + 16y^2 + 9y^2 = 900$

$25y^2 + 200y - 275 = 0$

$y^2 + 8y - 11 = 0$

$y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 44}}{2} = -4 \pm \sqrt{16 + 11} = -4 \pm \sqrt{27} = -4 \pm 3\sqrt{3}$

$x = \frac{25 + 4y}{3}$

$B(x,y) = (\frac{25 + 4(-4 \pm 3\sqrt{3})}{3}, -4 \pm 3\sqrt{3}) = (\frac{9 \pm 12\sqrt{3}}{3}, -4 \pm 3\sqrt{3}) = (3 \pm 4\sqrt{3}, -4 \pm 3\sqrt{3})$

外接円の中心は重心なので、

$(\frac{6+3 \pm 4\sqrt{3}}{3}, \frac{-8-4 \pm 3\sqrt{3}}{3}) = (\frac{9 \pm 4\sqrt{3}}{3}, \frac{-12 \pm 3\sqrt{3}}{3}) = (3 \pm \frac{4\sqrt{3}}{3}, -4 \pm \sqrt{3})$

(3) 直線 $l$ と円 $C$ の 2 つの交点を通る円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 16 + k((1-t)x + (1+t)y + 2t - 14) = 0$

これが P(-4, 0) と Q(2, 0) を通るので、

$16 - 16 + k((1-t)(-4) + 2t - 14) = 0 \implies -4 + 4t + 2t - 14 = 0 \implies 6t = 18 \implies t = 3$

$4 - 16 + k((1-t)(2) + 2t - 14) = 0 \implies -12 + k(2 - 2t + 2t - 14) = 0 \implies -12 + k(-12) = 0 \implies k = -1$

よって、

$x^2 + y^2 - 16 - ((1-3)x + (1+3)y + 2(3) - 14) = 0$

$x^2 + y^2 - 16 - (-2x + 4y + 6 - 14) = 0$

$x^2 + y^2 - 16 + 2x - 4y + 8 = 0$

$x^2 + 2x + y^2 - 4y - 8 = 0$

$(x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 - 8 = 0$

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 13$

3. 最終的な答え

(1) A(6, -8)

(2) $(3 \pm \frac{4\sqrt{3}}{3}, -4 \pm \sqrt{3})$

(3) $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 13$