三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 112^\circ$であり、$CA = AP = PQ = QB$である。このとき、$\angle ABC$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 112^\circ$であり、$CA = AP = PQ = QB$である。このとき、$\angle ABC$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle CAP$、$\triangle APQ$、$\triangle PQB$はそれぞれ二等辺三角形であることに注目する。

$\angle PCA = \angle CPA = x$とおくと、$\angle CAP = 180^\circ - 2x$である。

$\angle AQP = \angle PAQ = y$とおくと、$\angle APQ = 180^\circ - 2y$である。

$\angle PBQ = \angle PQB = z$とおくと、$\angle BPQ = 180^\circ - 2z$である。

$\angle BAC = \angle CAP + \angle PAQ + \angle QAB = 112^\circ$より、

$180^\circ - 2x + y + z = 112^\circ$

$y + z = 2x - 68^\circ$ … (1)

$\angle APQ$と$\angle APC$は一直線をなすので、$\angle APQ + \angle APC = 180^\circ$より

$180^\circ - 2y + x = 180^\circ$

$x = 2y$ … (2)

$\angle PQB$と$\angle PQA$は一直線をなすので、$\angle PQB + \angle PQA = 180^\circ$より

$180^\circ - 2z + y = 180^\circ$

$z = \frac{y}{2}$ … (3)

(2)と(3)を(1)に代入すると、

$y + \frac{y}{2} = 2(2y) - 68^\circ$

$\frac{3y}{2} = 4y - 68^\circ$

$8y - 3y = 136^\circ$

$5y = 136^\circ$

$y = \frac{136}{5}^\circ = 27.2^\circ$

よって、$z = \frac{y}{2} = \frac{27.2}{2}^\circ = 13.6^\circ$

$\angle ABC = z = 13.6^\circ$

$\triangle ABC$の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$より

$\angle ABC + x + 112^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC + 2y + 112^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC + 2(27.2^\circ) + 112^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC + 54.4^\circ + 112^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - 166.4^\circ = 13.6^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle ABC = 13.6^\circ$