展開図で表される立体の表面積が $80 cm^2$ のとき、底面の円の半径 $x$ を求める問題です。円周率は $\pi$ とします。

1. 問題の内容

展開図で表される立体の表面積が $80 cm^2$ のとき、底面の円の半径 $x$ を求める問題です。円周率は $\pi$ とします。

2. 解き方の手順

この立体は円錐です。円錐の展開図は、底面の円と扇形からなります。

- 底面積は $\pi x^2$ です。

- 側面積は $\pi \times x \times 3x = 3\pi x^2$ です。

- 表面積は底面積と側面積の和なので、$\pi x^2 + 3\pi x^2 = 4\pi x^2$ です。

表面積が $80 cm^2$ なので、

$4\pi x^2 = 80$

$x^2 = \frac{80}{4\pi}$

$x^2 = \frac{20}{\pi}$

$x = \sqrt{\frac{20}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \times 5}{\pi}} = 2\sqrt{\frac{5}{\pi}}$

問題文に円周率は $\pi$ であると書かれています。もし、$\pi = 3.14$と近似して良いなら、

$x^2 = \frac{20}{\pi} \approx \frac{20}{3.14} \approx 6.3694...$

$x \approx \sqrt{6.3694} \approx 2.52376...$

$x \approx 2.52$

となります。

しかし、問題文を読むと、底面の半径の長さを求める問題ですので、

表面積の計算方法が間違っています。

扇形の弧の長さは、底面の円周の長さと等しいので、 $2\pi x$ となります。

扇形の半径は $3x$ です。

扇形の面積は、$\frac{1}{2} \times (3x) \times (2\pi x) = 3\pi x^2$ であっています。

立体の表面積は、底面の円の面積と扇形の面積の和なので、$4\pi x^2 = 80$ は正しいです。

$x^2 = \frac{20}{\pi}$

$x = \sqrt{\frac{20}{\pi}}$

となります。

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{\frac{20}{\pi}}$